主页
概率论 (第三版)
概率论 (第三版)
苏淳 冯群强 编著
0 /
0
你有多喜欢这本书?
下载文件的质量如何?
下载该书,以评价其质量
下载文件的质量如何?
本书为中国科学技术大学数学类本科生的"概率论"教材,既保留了第
二版中原有的基本内容:初等概率论、随机变量、随机向量、数字特征与特
征函数、极限定理等,又根据国际通用表述习惯和教学需求调整了叙述方式
和部分内容,增加了例题,使得主干脉络更清楚,枝叶更丰满.
本书内容丰富,叙述严谨,深入浅出,既以生动浅显的方式说明了概率
论中的许多基本概念的直观意义,又以严密的数学形式陈述了这些概念的
数学本质.书中的有趣例题和大量习题有助于读者理解和掌握概率论基础
知识在教学中,标有*号的节或小节可以跳过不讲,不影响内容的衔接
本书可供高等院校数学类师生阅读参考,也可供其他专业人士进一步
学习概率论时使用.
二版中原有的基本内容:初等概率论、随机变量、随机向量、数字特征与特
征函数、极限定理等,又根据国际通用表述习惯和教学需求调整了叙述方式
和部分内容,增加了例题,使得主干脉络更清楚,枝叶更丰满.
本书内容丰富,叙述严谨,深入浅出,既以生动浅显的方式说明了概率
论中的许多基本概念的直观意义,又以严密的数学形式陈述了这些概念的
数学本质.书中的有趣例题和大量习题有助于读者理解和掌握概率论基础
知识在教学中,标有*号的节或小节可以跳过不讲,不影响内容的衔接
本书可供高等院校数学类师生阅读参考,也可供其他专业人士进一步
学习概率论时使用.
年:
2020
出版:
第三版
出版社:
科学出版社
语言:
chinese
页:
414
ISBN 10:
703063327X
ISBN 13:
9787030633279
文件:
PDF, 108.60 MB
你的标签:
报告问题
This book has a different problem? Report it to us
Check Yes if
Check Yes if
Check Yes if
Check Yes if
you were able to open the file
the file contains a book (comics are also acceptable)
the content of the book is acceptable
Title, Author and Language of the file match the book description. Ignore other fields as they are secondary!
Check No if
Check No if
Check No if
Check No if
- the file is damaged
- the file is DRM protected
- the file is not a book (e.g. executable, xls, html, xml)
- the file is an article
- the file is a book excerpt
- the file is a magazine
- the file is a test blank
- the file is a spam
you believe the content of the book is unacceptable and should be blocked
Title, Author or Language of the file do not match the book description. Ignore other fields.
Are you sure the file is of bad quality? Report about it
Change your answer
Thanks for your participation!
Together we will make our library even better
Together we will make our library even better
在1-5分钟内,文件将被发送到您的电子邮件。
在1-5分钟内,文件将被送到您的kindle上。
请注意:您需要验证要发送到Kindle的每本书。检查您的邮箱中是否有来自亚马逊Kindle的验证电子邮件。
请注意:您需要验证要发送到Kindle的每本书。检查您的邮箱中是否有来自亚马逊Kindle的验证电子邮件。
Conversion to is in progress
Conversion to is failed
您可能会感兴趣 Powered by Rec2Me
关键词
bernoulli112
poisson80
borel64
varx50
nen39
9jj38
lim37
iai35
lebesgue34
ibi32
exn30
bia29
var28
ixnl28
xiy28
eix27
cov26
exp26
ixn24
ixi23
x2123
fjlj23
ixl22
abc21
iyi21
esn21
aub20
ex218
cauchy18
exy18
acb17
poi16
aib16
ijlj15
geo14
moivre13
eixi12
ixk12
lnn12
itx12
xer11
lyapunov11
xly11
cantelli11
jii10
laplace10
关联书单
0 comments
您可以留下评论,分享你的经验。其他读者也会有兴趣了解您对您所读书籍的看法。不管你喜不喜欢这本书,只要您如实、详细地告诉他们,大家就能找到感兴趣的新书。
1
|
2
|
概率论 (第三版) 苏淳 冯群强编著 《中国科学技术大学数学教学丛书》编委会 主编 程艺 顾问 (按汉语拼音排序) 陈希藕方兆本冯克勤龚弄李刻神 石钟运史济怀 编委 陈友来陈卿陈祖埠侯定圣胡森 蒋继发李尚志林鹏刘儒勋刘太)1顶 缪柏其苏淳吴耀华徐俊明叶向东 章瑛赵林城 普通高等教育"十一五"国家级规划教材 中国科学技术大学数学教学丛书 概率论 (第三版) 苏淳冯群强编 著 4斗等也J!. .fi 北京 内容简介 本书为中国科学技术大学数学类本科生的"概率论"教材,既保留了第 二版中原有的基本内容:初等概率论、随机变量、随机向量、数字特征与特 征函数、极限定理等,又根据国际通用表述习惯和教学需求调整了叙述方式 和部分内容,增加了例题,使得主干脉络更清楚,枝叶更丰满. 本书内容丰富,叙述严谨,深入浅出,既以生动浅显的方式说明了概率 论中的许多基本概念的直观意义,又以严密的数学形式陈述了这些概念的 数学本质.书中的有趣例题和大量习题有助于读者理解和掌握概率论基础 知识在教学中,标有*号的节或小节可以跳过不讲,不影响内容的衔接 本书可供高等院校数学类师生阅读参考,也可供其他专业人士进一步 学习概率论时使用. 图书在版编目 ωl 的数据 概率论f苏东冯群强编著. -3 版一北京:科学出版社, 2020.4 (中国科学技术大学数学教学丛书) 普通高等教育"十一五"国家级规划教材 ISBN 978-7-03-063327-9 r.a濒… E ①苏…②冯… E ①概率论-高等学校-教材 W.(Do 211 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2019) 第 255496 号 责任编辑·张中兴姚莉丽 李萍/责任校对:杨聪敏 责任印制目张伟/封面设计.陈 敬 4申骨 lh }Ø..iI. 出版 北京东黄城根北街 16 号 100717 邮政编码 httll://'II'WW. scieh町.p. eom 此章 L携式,也悻幡嘈 F且官司印厢。 科学出版社发行 各地新华书店经销 ‘ 2004 年 3 月第一版开本: 2010 年 8 月第二版印张: 2020 年 4 月第三版字数: 720 x 1000 B5 26 524 000 2020 年 4 月第十三次印刷 定价 69.00 元 (如有印装质量问题,我社负责调换) 序 对于概率论这样一门有悠久历史,其基础内容随时代变化不大的学科来说,要 撰写一本教科书,说容易也容易,说难也难.说容易,是因为其学科体系、基本材料 以至编排和叙述方式等方面,都大致有了一个定型,再因其读者对象而作适当的剪 裁,就可写出一部拿得出手的成品.说难,就因为在上述因素的限制下,写作易落入 俗套,给人"千人一面"的感觉.所以,纵观大量已经出版的教科书,给人的感觉是 多数可用或基本可用,而精品寥寥.我自己也曾涉足此事,主观上也想努力写出一 点称得上有些特色的东西,但成绩平平.这固然有自己才力不逮的因素,但此事之 不易为,或为而不易精,也不能不说是一个原因. 因此,日前苏淳教授以概率论教科书近著见示,我即怀着浓厚的兴趣仔细通读 了一遍,我得老实承认.由于上述的"思想准备飞我的期望值没有放在"别开生面、 耳目一新"这个档次I土,自己也做不到的事,不能强人所难.但我心目中对一本好的 教科书,还是有一定的标准如取材的繁简适中,内容编排次序合理以便于教学,以 及对"严谨"性的关注这严谨性主要还不是指数学证明是否严格,因作为一本教 科书,时常不免因照顾读者对象而限制了可用数学工具的范围,而是指其对概念、 定理、理论的表述是否符合科学,没有似是而非以至误导读者之处另外2 是否注 意了概念的直观背景及其产生和发展的历史历程.应该说,在这几个方面,苏博士 的这本著作都有上乘的表现. 我还想特别提一下习题, 50 年前华罗庚先生在为维诺格拉多夫著作中译本《数 论基础》写序时,特别强调该书的精华在其习题,指出若读书而忽略了这一方面,无 异入宝山而空返.华老介绍该书正文内容简略,但许多补充和重要结果都在习题内, 让读者自己循此按步推演出来.固然维氏的著作属于专著,但我想这一精神也适用 于教科书,不做大量的有一定难度的习题,是决学不好一门数学的我总有一种感 觉一一也许是个人偏见·在大量现行概率统计教科书中,相当一部分在习题这个 环节功夫不够.苏博士的这本著作在这一点上给予了充分的重视,其所附习题紧密 配合教材内容,量大且难度安排合理 较易的和有一定难度的都有 该书作者苏淳教授是我国资深的概率论研究者,从事这个领域的研究和教学工 作垂 20 年,在概率极限理论以及金融数学等方面取得了丰硕的成果,并在多年教; 学和研究工作中,积累了许多经验他现在贡献给读者的这部著作凝聚了他多年的 序 • 11 • 教学心得和体会,实在是弥足珍贵.因此,在该书即将问世之际,笔者作为其第一位 读者,写下了自己的一点感想,是为序 陈希稽 2003 年 8 月 4 日 第三版前言 光阴在蒋,时光如箭,眨眼间第二版问世已有差不多十年了.一切都在发展,都 在随时间而变化,我们的概率论课本也不例外. 首先,对随机变量的分布函数,我们在这一版中采用了当今世界惯用的定义方 式,改为右连续的这一改动,使得我们的叙述方式与当今的众多概率统计文献相 吻合,更有利于读者今后的进一步学习我们变更了组合数符号,将机为(~), 不仅是为了与国际接轨,也是为了使用中的方便.我们在许多章节里增加了例题,加 强了定理与例题的相互映照,使得内容更加生动活泼.在"絮话正态分布"中,我们 粗浅地介绍了关于正态分布研究的发展简史,按照管理学中的定义,对 3σ 原则的 概念作了更正,还粗浅地介绍了高考中的标准分的产生原因和产生办法. 其次,在内容安排上,我们设了附录,把前两版中一些仅仅为保证理论性的严 密完整而写的内容收录其间数学上有一些定理,就其内容而言非常重要,但是就 其正确性的证明所运用的知识和方法来看,却脱离我们教学的主干线,写在正文中, 会分散读者时间与精力,但完全删去又有损于理论的严密,放入附录最好,可供感 兴趣者阅读,也可供大家必要时查阅而在正文中,我们就可以腾出时间和篇幅来 讲述定理的价值和意义,讲述它们的作用和应用,讲述更多的例题,更有利于读者 了解知识的方方面面,有利于他们能力的提高. 这一版还有一个鲜明的特点,就是在第 5 章中扩充了条件期望的内容3 大力介 绍了避开分布求期望的方法,通过许多例题展现这一方法的威力和作用,更加体现 出概率论的现代教学风格. 为便于在本科生教学中使用本书,我们在目录中对一部分内容标了*号,这些 标有*号的节或小节可以跳过不讲.其他未加*号的内容,也可根据需要或课时情 况灵活调整. 借此机会,向缪柏其教授和胡太忠教授对本书的修订所提出的宝贵意见表示衷 心的感谢.同时也感谢冯群强博士在本版的修订和写作上所贡献的心血与精力. 苏淳 2019 年 6 月 30 日 于合肥 第一版前言 概率论是一门研究随机现象中的数量规律的数学学科,随机现象在自然界和人 类生活中无处不在.随着人类社会的进步,科学技术的发展以及经济全球化的日益 快速进程,概率论在众多领域内扮演着越来越重要的角色,取得越来越广泛的应用, 也获得了越来越大的发展动力.概率论又是一门有着严密的数学理论基础的学科, 它的公理化体系是建立在集合论和测度论基础上的只有在这个公理化体系之下 学习概率论,才能弄清它的概念和理论,也才能为学习概率统计的系统知识打下必 要的基础. 作为一本为数学类本科生写作的"概率论"教材,既要对概率论的基本概念给 予严密的陈述,又要让学生切实了解它们的直观意义,这就要求我们认真处理好直 观性和严密性的关系,使它们达到有机的统一因此,我们对于诸如随机事件、概率 空间、随机变量等一系列基本概念,都从多种不同角度予以介绍,使得它们不仅仅 是一些抽象的数学概念,而且是一些有血有肉、生动鲜活的事物,看得见,摸得着. 本书的内容,即使对于没有学过实变函数的读者来说,只要认真加以体验,也是可 以接受的. 本书成形后,已经在中国科学技术大学数学类本科生的教学中使用过多次,取 得了良好的教学效果.此次整理出版时,作者又遵照陈希南院士的建议,并结合教 学实践中的体会,作了不少修改和补充陈垦和冯群强两位博士生为本书选配了习 题.在写作中,作者参考了多个兄弟院校的概率论教材,尤其是从南开大学杨振明 先生编著的《概率论》教材中受到许多启发.在此谨向他们致以深深的谢意. 苏淳 2003 年 6 月 30 日 于中国科学技术大学 目录 序 第三版前言 第-版前言 第 1 章预备知识 *1. 1 1.2 勺 3 *1.4 1. 5 *1.6 …… …… 随机现象和随机事件.. … .1 ..... .... ...... ..... ...... ...... ...... ..... ...... … …… 1 随机事件的运算……………………………………………… ..3 古典概型……. … … .9 ...... ..... ...... ...... ... ...... 古典概型的一些例子…… ……… … … … 17 儿何概型...................................................... ........U 絮话概率论. ...... ..... ...... ..... ……… …… 31 第 2 章初等概率论…………………………………………………. .35 2.1 概率论的公理化体系………………………………………… ..35 ...... ..... ...... ...... ..... .... … … 35 2. 1.1 什么是随机事件. 2. 1.2 事件 σ 域………………………………………………… 36 2. 1.3 关于事件 σ 域的一些讨论…………………………………… 37 2. 1.4 什么是概率 ….. ...... ...... ..... .... … … … ..40 2. 1.5 概率空间的例子. ...... ..... ...... ...... ..... .... … … 44 2.2 利用概率性质解题的一些例子………………………………… .46 日条件概率…… ..... ...... ...... .... ..... 2.3.1 条件概率的初等概念和乘法定理 …… … … … .55 …… ….. .... 56 2.3.2 全概率公式……………………………………………… .62 2.3.3 B町回公式 ….. ...... ...... ..... .... … … … ....70 2 .4一些应用…………………………………………………… ..74 2.4.1 求概率的递推方法………………………………………… .74 2.4 .2 秘书问题………….. ……… … 75 2.4.3 直线上的随机游动………………………………………… .76 日事件的独立性………………………………………………… m 2.5.1 两个事件的独立性…… 2.5.2 ……… … … ..83 多个事件的独立性………………………………………… .86 2.5.3 独立场合下的概率计算……………………………………… 90 目录 .vw. 第 3 章随机变量…………………………………………………… .95 3.1 3.2 初识随机变量 …… …… … … … … … . ...95 3. 1.1 随机变量与随机试验……………………………………… ..95 3. 1.2 随机事件的示性函数是随机变量 3. 1.3 Bernoulli 随机变量 …… …… …… ….. .... 99 ............................... .101 3. 1.4 Berno世且随机变量应用举咧………………………………… 104 与 Bernoulli 试验有关的随机变量.. ...... ...... ..... ...... …. .108 3.2.1 多重 B田noulli 试验中的成功次数…………………………… .108 3.2.2 Berno也试验中等待成功所需的试验次数… …… ….. .112 "3.2.3 Pascal 分布(负二项分布)........................................ .117 3.2.4 区间归, 11 上的均匀分布…………………………………… 120 3.3 随机变量与分布函数… ..... ...... ...... ..... .... ….... .123 3.3.1 随机变量及其分布函数……………………………………. .123 3.3.2 分布函数与随机变量…… 3.3.3 3 .4 分布函数的类型…… …… … … … … .125 ………. .128 3.3.4 Ri咀阻丑 Stieltj田积分与期望方差…………………………… 132 Poisson 分布与指数分布 ….. ...... ...... ..... .... … ........135 3.4.1 3.4.2 Poisson 定理……………………………………………. Poisson 分布的性质,随机和 3.4.3 指数分布 3.5 …… …… ….. ...... ...... ..... .... …… … …… .135 … ..139 …… 140 3.4.4 指数分布与 Poisson 过程的关系……………………………. .142 正态分布. ...... ...... ..... ...... … …… …… 146 3.5.1 正态分布的定义与性质…………………………………… ..146 3.5.2 正态分布的高度集中性……………………………………. .150 3.6 随机变量的若干变换及其分布 "3.6.1 …… "3.6.2 与连续型随机变量有关的两种变换 叮 .7 …… … … .153 随机变量的截尾…………………………………………. .153 …… ……… 155 3.6.3 随机变量的初等函数……………………………………… .157 絮话正态分布…….. ...... ..... ...... ..... .... ...... …. .162 3.7.1 正态分布的来历…… 3.7.2 6σ 原则………………………………………………… 165 3.7.3 高考中的标准分…… …… …… … … ………. .162 ………. .166 第 4 章随机向量…………………………………………………… 168 4.1 随机向量的概念 4. 1.1 ….. ...... ...... ..... .... 随机向量的定义…… …… … …… … ..168 ………. .168 目录 4. 1.2 4.2 • 1X' 多维分布 …… …… … …… …… 169 边缘分布与条件分布………………………………………… .173 4.2.1 边缘分布与条件分布的概念.. 174 …………… 4.2.2 离散型场合……………………………………………… 175 4.2.3 连续型场合边缘分布与边缘密度…………………………… .180 4.2.4连续型场合条件分布与条件密度………….......... 4.3 .181 4.2.5 随机变量的独立性………………………………………… 184 常见的多维连续型分布 …… …… ………. ....190 4.3.1 多维均匀分布…………………………………………… .190 4.3.2 二维正态分布…………………………………………… .191 4 .4 随机向量的函数 ….. ...... ...... ..... .... …… … ..193 4.4.1 随机变量的和…………………………………………… .194 4.4.2 两个随机变量的商……· 4.4.3 多维连续型随机向量函数的一般情形………………………… .199 飞4.4 ……… …… 最大值和最小值…………………………………………. 198 .204 "4.4.5 随机变量的随机加权平均…… 飞 4.6 顺序统计量……………………………………………… 208 4.4.7 纪录值………. …… ……… ...... ..... ...... .... ..... ...... 207 … ..212 第 5 章数字特征与特征函数………………………………………… 216 5.1 矩与分位数 …… ..... ...... ...... .... ..... …… .216 5. 1.1 对于数学期望的进一步认识.. 216 …………… 5. 1.2 数学期望的性质…………………………………………. .219 5. 1.3 随机变量的矩 …… …… ..... .... ...... … 223 5. 1.4 方差 …… …… ..... .... ...... ..... ...... ........227 叮2 5. 1.5 中位数和 p 分位数……………………………………… ..231 条件期望与条件方差 ...... ..... ...... … …… 235 5.2.1 条件数学期望及其应用…………………………………… ..236 5.2.2 连续情形下的全概率公式 ….. ...... ...... ..... .... … ....244 5.2.3 数学期望的一些其他应用………………………………… ..247 "5.2.4 条件方差及其应用………………………………………… 250 叮 2.5 5.3 随机足标和的期望和方差…… …… ……… 252 协方差和相关系数…………………………………………… 255 5.3.1 协方差………. 5.3.2 相关系数……………………………………………… ..257 ...... ..... ...... .... ..... ...... … ..256 5.3.3 随机向量的数字特征……………………………………… .264 目录 .x. 5 .4特征函数…………………………………………………… .266 特征函数的定义…… 5.4.1 5.4.2 5.4.3 …… ………. .267 … 特征函数的性质…………………………………………. .269 关于特征函数的一些讨论 ….. ...... ...... ..... .... … ....273 5 .4.4特征函数的几个初步应用 ….. ...... ...... ..... .... … ....278 多元特征函数…………………………………………… .281 5.4.5 日多维正态分布…. … … … … .283 ...... ..... ...... ..... 5.5.1 5.5.2 多维正态分布的定义……………………………………… .284 5.5.3 多维正态分布的性质…… … ....286 ….. ...... ...... ..... .... 多维正态分布定义的推广 …… … … .287 … 第 6 章极限定理…………………………………………………… 293 6.1 依概率收敛与平均收敛 …… …… ………. .... 293 6. 1.1 依概率收敛……………………………………………… 293 6. 1.2 平均收敛 …… …… … …… …… 299 6.2 依分布收敛 …… ..... ...... .... … … … … 306 依分布收敛的概念………………………………………… 306 6.2.1 6.2.2 6.3 连续性定理及其应用…… …… … … .309 … 弱大数律和中心极限定理…………………………………… ..314 弱大数律 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3 .4 6.3.5 6.3.6 …… Slutsky 引理 …… …… … …… 315 ……….. ..317 …… … …… 中心极限定理…………………………………………… .319 独立不同分布场合下的中心极限定理…· …… …… 327 关于中心极限定理成立条件的进一步讨论……………………… 336 多维场合下的中心极限定理………………………………… 340 6.4 a.s 收敛…… ……… ……… …… 344 6.4.1 a.s 收敛的概念………………………………………… ..344 6.4.2 无穷多次发生 …… …… ..... .... ...... … 347 若干引理与不等式………………………………………… 352 6.4.3 6.5 强大数律. 独立随机变量级数的 B.S 收敛性 6.5.1 6.5.2 参考文献 附录. ...... ...... ..... ...... … …… …… …… …… 356 … 356 强大数律……………………………………………… ..361 …… …… ..... .... ...... ..... ...... … … 367 ..... ...... ...... ..... ...... ...... ... ...... ...... ..... ...... ...... ....… .368 *A.l 一些计数模式…. A. 1.1 ...... ..... ...... ..... 关于排列组合计数模式的再认识 …… … … … … 368 …… … .368 目录 • Xl' A. 1. 2 ..... ...... ...... ..... .... 多组组合… ……… 369 A. 1. 3 分球入盒问题…………………………………………… 370 A. 1.4 可重排列和可重组合 …… …… ………. ..373 A. 1. 5 *A.2 太间距组合…………………………………………… ..373 一些概念和一些定理的证明…………………………………. .377 A.2.1 Poi四n 过程初谈 ….. ...... ...... ..... .... … … 377 A.2.2 反搞公式与唯一性定理…………………………………… .379 A.2.3 *A.3 连续性定理 …… …… … …… …… 382 统计学中的三大分布………………………………………… 387 A.3.1 )(2 分布 A.3.2 t 分布 …… …… … …………… …… …… 388 … … … … 390 A.3.3 F 分布………………………………………………… 391 A.3.4三大分布在统计中的重要性…… …… … … ..392 附表 I 附表 II 常用分布表……………………………………………… .395 Poisson 分布数值表 …… …… ………. ..398 附表皿标准正态分布数值表…………………………………… ..400 第 1 章预备知识 *1. 1 随机现象和随机事件 概率论是一门研究随机现象中的数量规律的数学学科,随机现象在自然界和人 类生活中无处不在.抛掷一枚硬币,可能出现正面,也可能出现反面;抛掷一枚锻 子,可能出现 1 , 2 ,…, 6 点; 110 报警台一天中说不定会接到多少次报警电话;等等 在这些现象中都可能有多种不同的结果出现,并且事前人们无法知道究竟会出现哪 一种结果这类现象被称为随机现象,意即其结果随机遇而定的现象 研究随机现象中的数量规律对于人类认识自身和自然界,有效地进行经济活动 和社会活动十分重要.人类的寿命长短,基因的遗传和变异规律,疾病的发生发展 和传播规律,自然界中的气候变化规律,河流的流量变化规律,鱼的泪游规律,在经 济活动中:股票价格的涨落,市场需求的变化,资金回报率的变动,保险公司经营状 况的变化; …都是需要加以研究的,而它们无一不是随机现象中的数量规律. 概率论正是为了研究随机现象中的数量规律而产生的一门数学学科,并且随着 这种研究需求的推动而不断地发展着可以说概率论是当前世界上发展最为迅速也 是最为活跃的数学学科之一. 在随机现象中,虽然不能事先预言所可能出现的具体结果,但是却可以认为"所 有可能的结果"是己知的例如,抛掷硬币的所有结果只有两个正面和反面;母兔 下崽的只数一定是正整数; 110 报警台 1 天内接到的报警次数一定是非负整数;股 票价格的涨跌幅度充其量可认为是任意实数,等等. 为了研究随机现象的数量规律,人们需要进行观察或安排试验.例如,为了研 究射击中的规律,可以让射手去射击;为了检验假子是否均匀,可以实际地反复投 掷,等等.但是,为了研究 110 报警台接到的报警次数的变化规律,为了研究长江流 量规律,等等,我们就只能进行观察.无论是观察还是试验,目的都是为了了解相应 随机现象中所可能出现的所有不同结果及其发生规律所以,我们把这类观察或试 验统统称为统计试验.也就是说,统计试验就是了解随机现象所可能发生的所有不 同结果及其发生规律而进行的试验或观察. 为了能够研究随机现象中的规律,人们通常用一个集合。来表示所有不同的 可能结果例如,在抛掷一枚银子的试验中,一共有 6 种不同的可能结果出现,因此 。= {1 , 2 , 3 , 4, 5 , 6}; 在抛掷一枚硬币的试验中,可以将 Q 写成{正,反},也可以数 学化地用 1 表示出现正面,用。表示出现反面,将 0 写为 {0 , 1}; 在研究 110 报警 第 1 章预备知识 .2. 台 1 天内接到的报警次数时,由于事前难于定出次数的最大值,所以就将 Q 取为所 有非负整数的集合;在研究人的身高时,可以将 0 取为所有正数的集合;在研究股 市的变化规律时,可以将 Q 取为所有实数的集合;等等.总之,。就是包含了所有 可能的试验结果的集合. 应当注意,在试验结果仅有有限多个时,我们把 Q 取为所有这些可能结果的集 合.例如,连续射击 5 次,只考察各次射击是否命中目标,我们若以 1 表示命中目 标,以 0 表示未命中目标,那么 。= {(酌,句,…,向) 1 句 =0 或 1 , j=1 , 2, 3 , 4 , 5} , 其中一共有 32 个元素,每一个元素都是一个由。或 1 组成的 5 元有序数组 一般地,我们用小写希腊字母 ω 或者带有足标的小写希腊字母崎表示。中 的元素例如,对于一个仅有 n 个元素的。,可以将其记作 。 ={ω, li=1 , 2 ,… , n} = {ω1 , ω2 ,…, ωn}. 对于随机现象来说,每一次试验都只能出现。中的一个结果 ω,所以各个结果 ω 在一次试验中是否出现是随机遇而定的我们在随机试验中通常会关心其中的 一类结果是否出现.例如,抛掷一枚假子,会关心掷出的点数是否为奇数i 考察某个 城市治安状况,会关心一天中的报警次数是否超过某个给定的数目 i 等等这些都 是在我们的试验中可能出现,也可能不出现的结果.在概率论中,这种在一次试验 中可能出现,也可能不出现的一类结果称为随机事件,简称为事件. 不言而喻,我们所关心的一类结果构成了。的一个子集例如,抛掷一枚银 子,如果关心掷出的点数是否为奇数,那么子集 A = {1 , 3 , 5} 就是所关心的随机事 件,考察城市治安状况z 即 110 报警台一天中所接到的报警次数2 而如果关心其次 数是否不少于 k 次,那么子集 Ak = {n 1 n 注的, kE I\I就是我们所关心的随机 事件;等等.当试验的结果 ω 属于该子集时,便出现了所关心的一类结果,这时就 说,相应的随机事件发生了.相反地,如果试验的结果 ω 不属于该子集,那么便说 该事件没有发生.例如,如果掷假子掷出了 3 ,那么事件 A={1 , 3 , 5} 发生,如果 掷出 2 ,那么事件 A = {1 , 3 , 5} 就没有发生;如果某天中的报警次数为 5 ,那么对事 件 Ak = {n 1 " n ;;. k} , k E 1\1,便有 A " , ,~都发生了,而事件 A 6 , 岛,…都没有 发生. 。中的每个元素 ω 作为 0 的单点子集,也是一类可能发生,也可能不发生的结 果,所以也是随机事件.由于每一次试验的结果 ω 都一定是。中的一个单点子集 {叶,所以我们把 Q 中的每一个元素都称为一个基本随机事件(简称为基本事件), 也称为一个样本点.并且把 Q 称为样本空间.于是,样本空间。就是包含了所有 基本事件(样本点)的集合. .3. 随机事件的运算 1. 2 由于样本空间。自身也是自己的一个子集,所以也把它称作一个事件由于每 一次试验的结果 ω 都是。中的一个元素,所以。在每一次试验中都一定发生,故 把它称为必然事件.相对应地,由于空集 g 也是 0 的一个子集,只不过 g 中不包 含任何元素,所以 m 在每一次试验中都一定不发生,故把它称为不可能事件. 习题1. 1 1 同时抛掷两枚均匀的假子,试写出: (1) 样本空间。; (2) 两枚银子上的点数相等的随 机事件; (3) 两枚假子上的点数之和等于 10 的随机事件 2. 在以原点为圆心的单位圆内随机抽取一点,试写出: (1) 样本空间。; (2) 所取之点与 圆心的距离小于 γ(0 < r < 1) 的随机事件; (3) 所取之点与圆心的距离大于 13 小于 • • 1 2 的随机 事件. 3 考察正方体 6 个面的中心,从中任意选择 3 个点连成三角形,把剩下的 3 个点也连成 三角形,以 A 表示所得到的两个三角形相互全等的事件,则 A 是一个什么样的事件? 4 连续抛掷一枚均匀的假子,直到六个面都出现为止以 A 表示所需的抛掷次数不超过 100 的事件,则 A 是一个什么样的事件? 1. 2 随机事件的运算 我们已经知道了样本空间。就是包含了所有基本随机事件(样本点)的集合, 而随机事件是它的子集,所谓一个随机事件发生,就是指统计试验的结果是该子集 中的一个元素(即基本事件)大家知道,在集合之间是可以进行运算的,因此在随 机事件之间也可以进行相应的运算.我们这一节的任务就是耍弄清楚,作为 Q 的子 集的随机事件之间的运算所代表的概率意义 设 il, 1/, il" il 2 ,"是某个统计试验中的一些随机事件,也就是样本空间。 的一些子集.当这些事件之间按照集合之间的运算规则进行运算时,运算的结果自 然还是 Q 的子集,因此它们应该还是随机事件那么这些随机事件各表示什么意义 呢?下面就来逐一说明. ilU 1/在集合论中称为 A 并1/,它表示由 A 和 B 中所有不同元素所形成的集 合,作为 Q 的子集间的运算,它表示由 A 和 B 中所有不同基本事件所形成的随机 事件,当 ilu 1/发生时,表示试验的结果是 ilu 1/的一个元素(基本事件)易知 ωE ilu 1/ ==*ωEil 或 ωE 1/, 因此当事件 ilU 1/发生时,必有事件 A 或事件 B 发生,所以在概率论中称 ilU 1/ 为 A 与 B 的并事件,称事件 ilU 1/发生为事件 A 或事件 B 发生 通过类似的讨论可知,交事件 il n 1/(或写成 il1/)表示事件 A 和事件 B 同时 发生. 第 1 章预备知识 .4. 当 AB=0 时,表示事件 A 和事件 B 不可能同时发生,此时将它们称为互不 相容的事件或互斥事件. AC 在集合论中表示由。中所有不属于 A 的元素所形成的集合,称为 A 的余 集,又称为 A 的补集.在概率论中 , AC 表示由所有不属于 A 的基本事件所形成的 随机事件.显然 ω EA =斗 ω !i! A. C 所以当 AC 发生时,试验的结果不属于 A, 此时 A 不发生.容易看出 AAc = AuAC = fl , 0. 因此,任何试验结果必属于事件 A 与 AC 之一,并且只属于其中的一个所以在任 何时候,事件 A 与 AC 中都必有一个发生,而且只有一个发生.我们将 AC 称为 A 的对立事件,又称为 A 的余事件,或补事件. 显然 (AC)C = A, 所以 A 与 AC 互为对立事件.由于 AnAC = 臼,所以对立事 件一定互不相容又因为 AUAC 一定等于 fl ,而互不相容事件未必满足这一条件, 所以互不相容事件并不一定为对立事件.例如在后面的例1.3.2 中,事件 A 与 B 为 互不相容事件,困为它们不能同时发生(事件 A 表示 "3 次都掷出反面",而事件 B 表示"恰有 1 次掷出正面η ,但是 AUB 弄。,所以它们不是相互对立的事件.事实 上 , A 的对立事件是"至少有 1 次掷出正面"对立事件的含义是"非此即彼飞即两 者中必有一者发生,但两者必不同时发生.因为 A 不发生就是 AC 发生, AC 不发生 就是 A 发生. 差集 A-B 在集合论中的含义是清楚的,在概率论中 A-B 表示事件 A 发生, 事件 B 不发生利用余事件的概念,可以把 A-B 表示为 ABC( 图1.1) 举到腔。 @ AcB AB AUB 。 。 翅〉 ( A A' A-B 图1.1 事件运算的 Venn 圈 Q A , B 不相容 .5. 随机事件的运算 1. 2 A6B 称为集合 A 与 B 的对称差,有 A6B = ABcuAcB = AUB-AB, 在 概率论中表示事件 A 与 B 中恰有一个事件发生. 集合论中有关集合间的包含关系,在概率论中也有概率意义上的解释,在集合 论中 AcB 表示 A 是 B 的子集,称为 A 包含于 B , 又称为 B 包含 A 由于 AcB=丰只要 ω EA, 就有 ω EB , 所以只要事件 A 发生,就一定有事件 B 发生.因此在概率论中 , ACB 表示 A 发 生必然导致 B 发生,通常把事件 AcB 叫做事件 A 蕴涵事件 B. 如果 AcB 且 BcA, 则表明事件 A 蕴涵事件 B , 事件 B 也蕴涵事件 A, 因 此有 A=B 在证明两个事件相等时,就需要证明它们之间的这种相互蕴涵关系 上述各种运算不难推广到多个事件的场合.设 A"A2 , … , An 是 n 个事件,称 A, UA2 U … U An或 UA. k=1 为它们的并,表示在事件 A" 岛,'" , ι 中至少有一个发生.称 A, nA2 n … nA伺或 A, A2" ι 或门 A. k=l 为它们的交,表示事件 At , A2 ,... , ι 同时发生 显然还可以进行多个事件的并、交和取余的混合运算,在进行混合运算时,规 定先作取余运算,再作交运算,最后作并运算.当然还可以用括号表示运算进行的 优先顺序. 对可列个事件 At , A2)"' , 将它们的并规定为 AlUA2U··=U AK=AU AK , 表示事件 A"A2 ,.. 中至少有一个发生;将它们的交规定为 A, nA2 n... =门 A. = 坦。门 A. , 表示事件 A" 岛, 同时发生. 上极限事件和下极限事件是概率论中的两个重要概念,分别记为 n 列 件 事 bJ 、 nEN 是 rA 吨lh 中 其 ι 时 ∞n U ∞ H A U An 和 k=ln=k 第 1 章预备知识 .6. 我们先来解释它们的概率意义.容易看出,对上极限事件,有 U ωE 门 UAn=丰 ωE k=ln=k -护:3 所以上极限事件 n U An 表示 {A,毡, An , V k EN n=k nk ø k, ωE An., V k E 1'1, nEN} 中有无穷多个发生.类似地,对下极 n An 表示 {A,毡, ωvv 时 LemZ 」 34ω A dA叫 斗斗 ∞ n U ∞ M ω 所以下极限事件 U E ∞门时川 限事件,有 En An EN nEN} 中至多有有限个不发生. k 二 1n二k 下面解释上极限事件和下极限事件名称的来历.由于 U An n=k 以{立 ι} 是下降的事件序列,因此该序列存在棚,并回 ι ,所 句 A UU- k U n=k+l ∞ U时 皿叩 叫 一- U ∞ ∞门问 A :::J 类似地,有 U 门 An=tz 门 An. 由于 "{An, n E N} 中至多有有限个不发生"显然蕴涵 "{A,毡 , n E N} 中有无穷多 个发生",所以我们把极限 J飞 nykAn 叫做原来的事件序列 {An, n E N} 的上极 句 A ∞川 U ∞ n川 mv 句 A 呻咽 限事件,也记为 k=ln=k 而把极限此巳 An 叫做原来的事件序列 {An , nEN} 的下极限事件,也记为 我们把如上的讨论结果列成一张表(表1.1). 句 A ∞门时 - ∞ UM U M∞ ·h 皿 A 1. 2 .7. 随机事件的运算 表1. 1 符号 集合论意义 概率论意义 。 全集或空间 样本空间、必然事件 g 空集 不可能事件 w A 元素 样本点、基本事件 可测子集 随机事件 ωεA ω 是 A 的元素 试验结果 ω 属于 A , 事件 A 发生 ACB A 包含在 B 中 若 A 发生,则 B 一定发生,事件 A 蕴涵事件 B A~B A 与 B 相等 A 与 B 为同一事件,官们同时发生或同时不发生 AnB 或 AB 交集 表示 A 与 B 同时发生 AB~Ø 不相交 A 与 B 不相容(亘斥),它们不可能同时发生 AUB 并集 表示 A 或 B 发生 , A 与 B 中至少有一个发生 AC 余集 对立事件j AC 发生表示 A 不发生 A-B 或 ABC 差集 表示 A 发生,而 B 不发生 AL> B 对称差 表示 A 与 B 中恰有一个发生 上极限集合 表示事件序列 {An} 中有无穷多个事件发生 下极限集合 表示事件序列 {An} 中至多有有限个事件不发生 limsupAn "→∞ =h∞门=lnU=h An ∞ liminfAn "→∞ = h回 U=1 "回门=h An 我们可以利用事件的运算表示各种意思,如下面的例子. 例1.2.1 (1) 设 A, B , C 是某个统计试验中的三个随机事件3 则 A 发生,而 B 与 C 都不发生,可以表示为 ABCCC 或 A-B-C 或 A- (BUC); (2) A 与 B 都发生,而 C 不发生,可以表示为 ABCC 或 AB-C 或 AB-ABC; (3) 三个事件中恰有一个事件发生,可以表示为 ABCCCU ACBCc U ACBCC; (4) 三个事件中恰有两个事件发生,可以表示为 ABCCU ABcC U ACBC 或 (AB U BC u CA) - ABC; (5) 三个事件都发生,可以表示为 ABC; 但)三个事件中至少有一个事件发生,可以表示为 AUBUC 或 ABCU (ABCc UABcCUACBC) U (且 CCC U ACBCc U ACBCC) , 第 1 章预备知识 .8. 还可以表示为 (ACBCCC)C. 例1.2.2 观察 110 报警台一天中接到的报警次数如果以 Ak 表示报警次 数不少于 k 次的随机事件j Bk 表示报警次数恰好为 k 次的随机事件,那么容易看 出: Ak 表示报警次数少于 k 次的随机事件j Bk 表示报警次数不是 k 次的随机事 , 件; B Bj = ø , i # j; A k+1 C A k , Ak = U Bn , Bk = Ak - A k +1; 等等 既然事件之间的运算就是 0 的子集之间的运算,所以由集合的运算法则知,事 件的运算满足如下的运算法则· =B = BA; U A , AB 交换律 AUB 结合律 = Au (B U C) , (AB)C = A(BC); (AUB) nC = ACUBC, (AB) uC = (AUC)(B U C); 分配律 (AU B) U C (AUB)C = ACB c, (AB)C = AC U B C. 对偶原理 (De Morgan 法则 ) 在遇到并、交和取余的混合运算时,一般的运算顺序是:最先取余,再求支, 最后求并.我们还可以通过加括号来规定运算之间的先后顺序.可以通俗地把 De Morgan 法则读为:并的余集是余集的交,交的余集是余集的并,它在概率论中的应 用极为广泛. 习题1. 2 1 设 A, B , C 为某三个事件,证明 (1) ABUBCUAC ::J ABC; 但) ABUBCUAC C AUBUC. 2. 设 A 和 B 是两个随机事件,试求使得如下等式成立的一切事件 X: (1) AX = AB; (2) (A U X)" U (A CU X)C = B 3 试确定随机事件 A 和 B , 如果 (1) A uB = A C; (2) AB = A C 4 设 A 和 B 为某两个事件,试求出所有的事件 X,使 (X u A)C u (X u AC)C = B. 5 证明,对任何随机事件 A 和 B, 如下各关系式相互等价: ACB , AC:>Bc, AUB=B , A 门 B=A, A-B=0 6 设 A 和 B 是两个随机事件,试讨论如下各事件之间的关系: (1) (A u B)(A u B C) u (A Cu B)(ACu B C); (2) (A u B)(AC U B C) U (A U BC)(AC U B); 但) (A U B)(ACU B)(A U BC)(ACU B C). 7 在区间川中任取一点 X, 记 A= {o.;;; 叫 n , B = U< 叫 n 和 C= U.;;; x < 1} ,制相同的方法表示如下各事件: (1) ABc; (2) A + B C; (3) (AB)C; 但) (A CBC)C; (5) (A + B)(A + C)C '1. 3 古典概型 .9. 8 试用事件 A" … , A5 表示如下各事件: (1) B , = {血,'" (3) B3 = {A"... , As 中至多发生两个}; (2) B2 = {血... , As 中至少发生两个}; , A5 中恰发生两个}; 但) B. = {血,'" , As 都不发生}. 9. 市场调查员报道了如下数据:在被询问的 1000 名顾客中,有 811 人喜欢巧克力糖, 752 人喜欢夹心糖, 418 人喜欢大自兔糖, 570 人喜欢巧克力糖和夹心糖, 356 人喜欢巧克力糖和大 白兔糖, 348 人喜欢夹心糖和大白兔糖,以及 297 人喜欢全部三种糖果.证明这一信息有误. 10. 若 A, B , C 为随机事件,说明下列各关系式的概率意义: (2) Au BU C = A; (3) AB C C; (4) A C (BC)" {An}单调上升,即对任何 nEN,有 An c An+l1 试用概率论语言证明 (1) ABC = A; 11 设事件列 lirz陆=旦 An =1时 An 12 进行独立重复的 Bernoulli 试验以事件 An 表示"事件 A 在第 n 次试验时出现飞 事件 Bn,m 为‘零件 A 在前 n 次试验中出现 m 次" (1) 试以 A 表示 B4,2; (2) 试解释事件 Bm = 立(立战斗, (3) 记 B= U B~ 试问关系式 n An 豆 B C 与们 A~ ÇB 是否成立? 13. 盒中盛有许多黑球和自球,从中相继取出 n 个球,以 A‘表示第 4 个被取出的球是自 球的事件 (1" i" n) , 试用 A‘表示如下各事件: (1) 所有 n 个球都是自球; (2) 至少有一个自球;但)恰有一个自球;但)不多于 k 个自球; (5) 不少于 k 个自球;但)恰有 k 个自球; (7) 所有 n 个球同色. 14. 甲乙二人下棋,事件 A 表示甲赢,事件 B 表示乙赢.如下各事件分别表示什么意思: (1) Al> B c; (2) AC l> B; (3) AC l> B c; (4) BC\A; *1. 3 (5) AC\B 古典概型 古典概型所研究的是一类最简单的随机现象.在这类随机现象中一共只有有限 种不同的可能结果(基本事件)出现,并且各个基本事件发生的机会相等. 这类随机现象极为多见,例如,抛掷均匀的硬币,抛掷均匀的假子,等等. 研究随机现象的规律就是要考察各种随机事件发生的可能性,即要在样本空间 中引入一种测度 P ,称为概率,用以度量各种随机事件发生的可能性的大小 既然。为必然事件,所以规定 P(!1) = 1; 而 g 为不可能事件,所以 P(的 =0. 当样本空间中一共只有 n 个基本事件,并且各个基本事件的发生可能性相等 时,那么每个基本事件的发生概率就应当都是 1 这样一来,当某个随机事件 A 中 n 所包含的基本事件个数为 m 时,则随机事件 A 的发生概率就应当是 P(A)=: , 第 1 章预备知识 .10. 即有 IAI (A) 一 = :~: , (1. 3.1) 1111 其中 IAI 和 1111 分别表示事件 A 和 Q 中所包含的基本事件(样本点)个数这种概 率模型就称为古典概型. 古典概型是一种最简单的概率模型,大家在以前的学习中已经有所接触.我们 再来看一些简单的例子. fJlJ 1.3.1 抛掷一枚均匀的假子一次,求如下各随机事件的发生概率: (1) 抛出 的点数不小于 5; (2) 抛出的点数为质数; (3) 抛出的点数为偶数 解 分别用 A, B, G 表示上述各随机事件,易见 A = {5 , 6} , B = {2 , 3, 5} , G = {2 , 4, 6} , 从而知 IAI = 2, IBI = 3, IGI = 3,由于 1111 =6 ,所以由公式(1. 3.1) 得 P(A)=;=; , P(B)=;=; , P(C)=;=; 例1. 3.2 抛掷一枚均匀的硬币 3 次,求如下各事件的发生概率: (1) 3 次都掷 出反面; (2) 恰有 1 次掷出正面; (3) 第 1 次掷出正面,且至少有两次掷出正面. 解 我们先来弄清样本空间。是什么.按照定义, 11 应当由一切可能发生的 基本随机事件所组成,即由 3 次抛掷所可能出现的所有不同结果组成,困此, 。={(正,正,正), (正,正,反), (正,反,正), (反,正,正), (正,反,反), (反,正,反), (反3 反3 正), (反3 反3 反) } 如前所说,也可以用 1 表示正面,用。表示反面,于是也即将 Q 表示为 。= {(a" 句,句) 1 句 =0 或 1 , j = 1, 2, 3}. 总之我们都有 1111=8 相应地,如果分别用 A, B, G 表示上述各随机事件,则有 A={(O,O,O)}; B={(l ,O,O) , (0 , 1, 0) , 从而知 IAI = 1, IBI = 3, IGI = 3,由于 P(A) =~, (0 , 0, 1)}; G={(l , l , l) , (1 , 1, 0) , (1 , 0, 1)} 1111 =8 ,所以由公式(1.3.1) 得 P(B) = P(的=; 以上两个例题都是最简单的古典概型的例子,其中的样本空间。和随机事件 都容易写出,样本点的个数也容易求出.然而在太多数问题中,却不会这么简单由 于我们的目的是计算随机事件的发生概率,而不在于写出样本空间的具体内容.而 '1. 3 .11. 古典概型 正确计算概率的关键是正确求得样本空间。和随机事件的基本事件的个数,所以 今后在解题时,可以不必时时写出样本空间。和随机事件的具体内容,而只要正确 求得样本空间。和随机事件中的基本事件的个数即可看几个例子 例1.3.3 解 10 男 4 女随机地站成一行,求任何两位女士都不相邻的概率. 考察 10 男 4 女共 14 人站成一行的所有不同排法.样本空间。由所有不 同排法组成,所以 1111 = 14!. 如果用 A 表示甜可两位女士都不相邻的事件,则事件 A 由一切满足要求的排 法组成.我们先让 10 位男士随机地站成一行,再让 4 位女士两两不相邻地插入其 间,即知 IAI = 10!. (~) .4! =鸟些, 由于"随机地站成一行"表示各种不同排法是等可能的,所以 P(A) 9JJ 1.3.4 = 手;=z 从 5 双不同只码的鞋子中脚l抽取 4 只,求如下各事件的发生概率: 事件 A: 4 只鞋子中任何两只不成双; 事件 B: 有两只成双,另两只不成双; 事件 G: 4 只鞋子恰成两双 解 从 10 只鞋子中随机抽取 4 只3 共有(~) = 210 种不同取法,故 1111 =川 在事件 A 中, 4 只鞋子分别取自 4 种不同尺码的鞋子.哪 4 种尺码的鞋子,有 C) =5 种可能在各相应册的鞋子中分别取出 1 只哪 1 只(左脚还是棚, 共有 2 4 = 16 种可能.因此 IAI = 5 x 16 = 80. 在事件 B 中,有 1 双鞋子被完整地取出,有 G) =5 种可能;还有两双鞋子 f4 飞 f2 飞 f2 飞 飞 2J 飞/飞1J 被分别取出 1 只哪两双各取出哪 1 只有 (:1.{~1.{~1=24 种可能.因此 IBI = (~) .24 = 120 在事件 C 中,有两双鞋子被完整地取出,有 G) =10 种可能,故 IGI = 综合上述,知 P队)=主 =2 , P(B)= 骂 =;P伴击=丰 10 .12. 第 1 章预备知识 在以上两个例题中,所使用的排列、组合计数模式是大家所熟悉的,并且何时 使用排列模式计数、何时使用组合计数模式,也都合乎通常的习惯.但是我们的目 的是计算随机事件发生的概率,而不是计数.我们提醒大家注意下面的例子,它反 映出了概率计算与纯粹的计数问题之间的差别. 例1. 3.5 一个笼子里关着 10 只猫,其中有 7 只白猫、 3 只黑猫.把笼门打开 一个小口,使得每次只能钻出 1 只猫猫争先恐后地往外钻.如果 10 只猫都钻出 了笼子,以 Ak 表示第 k 只出笼的猫是黑猫的事件,试求 P(Ak) , k = 1, 2," . , 10. 解法 1 10 只猫出笼的先后顺序共有 10! 种不同可能,所以 1111 = 1O!.在事件 Ak 中,第 k 只出笼的猫是黑猫,哪 1 只黑猫,有 G) =3 种可能,在其余 9 个位 置上剩下的猫可任意排列,有 9! 种可能的顺序,所以 IA.I = 3. 9!. 故有 P(A.) = 3.9! 3 -, n:' = ,-n' 1O! 10 k = 1, 2,' .. , 10. 在上述解法中,我们把 10 只猫视为 10 个不同元素,在计算它们出笼的先后顺 序时,使用了排列模式计数.但是猫有时是很难识别的,除了颜色易于区分之外,在 颜色相同的猫之间往往很难分出谁是谁因此在计算它们出笼的先后顺序时,未必 能视为 10 个不同元素的排列,相反地,把同种颜色的猫看成相同的元素,似乎要更 加合理一些.由此看来,不如采用不尽相异元素的排列模式计算出笼顺序就让我 们来试一试吧! 解法 2 现在只有两种不同的元素,一种有 7 个 (7 只白猫),另一种有 3 个 (3 只黑猫),由不尽相异元素的排列模式知,它们共有(~)种可能的排列顺序阳 要分清哪些位置上是黑猫,哪些位置上是白猫即可)所以 1111 = (~) = 120 在事件 A. 中,第 k 只出笼的猫是黑猫(用不着弄清是哪 1 只黑猫),在其余 9 个位置上有两个位置为黑猫(只要弄清是哪两个位置即可),所刷以 IA. 牛 k 因此也有 P(A.) 36 3 = 画面=面, k = 1, 2,…, 10. 值得注意的是:尽管采用了两种不同的计数模式计算 1111 和 IA.I ,但是计算出 的概率值却是相等的这就告诉我们,概率计算问题不同于普通的计数问题在概 率计算问题中,重要的不是采用何种计数模式来计算样本空间和随机事件中的样本 点(基本事件j 的数目,而是要保证对两者采用同一种计数模式千万要注意,不能 对一者采用一种计数模式,对另一者采用另一种计数模式可以说许多时候的计算 错误即来源于此.鉴于上述考虑,还可以给出猫出笼问题的其他解法. '1. 3 .13. 古典概型 解法 3 由于只要求求出第 k 只出笼的猫是黑猫的概率,所以只需考虑前 k 只出笼的猫的排列情况.在。中包括了由 10 只(不同的)猫中选出 k 只猫来的一 切可能的排列方式,所以 Ifll = 10! (lO -k)!' 在事件 Ak 中,第 k 只出笼的猫是黑猫, 有 G) =3 种可能,在其前面的 k-1 个位置上则是由其余瞅(不同的)猫中选 3.9! (10 - k)! 出 k-1 只猫来的一切可能的排列方式,所以 IAkl = ,,: ~:".显然仍然有 3.9! 3 P(Ak) = ~, n:' = ,~n' 10! 10' k= 这样,我们便又得到了与前面两种解法完全相同的结果.这个例子告诉我们.对 于古典概型问题,可以有多种不同的解法,并且可以采用不同的计数模式计算样本 点的个数.但是必须对样本空间和随机事件采用相同的计数模式,并且能够给出合 理的解释. 除此之外,在这个问题的答案中,还有一个引人注目之处:即不论 k 等于儿,都 有 P(Ak) = 言,即恰好等于黑猫在所有猫中所占的比例而且这个问题的解答完 全适用于下一个问题. 10 张签中有 3 张带圈、 7 张带叉,抽到带圈的签为中签 10 个人依 9JJ 1. 3.6 次抽签,求各人的中签概率. 解 将第 k 个抽签的人中签的事件记作 A k , k = 1 , 2 ,…, 10. 不难看出,可以 采用上题中的解法,分别求出 Ifll 和 IAkl , 从而知 P(A k ) = 芷=言, k= 口,'" , 1。 这个结果表明了抽签具有公平性,即不论第儿个抽,中签的概率都相等,都等 于带圆的签在所有签中所占的比例.正是抽签所具有的这种公平性,使它在抽样理 论中被广泛使用我们来讨论两个与抽签有关的问题. 9JJ 10 张签中有 3 张带圈、 7 张带叉,抽到带圈的签为中签. 1. 3.7 10 个 人依次抽签,分别求: (1) 第 k 个抽签的人中签 (1ζkζ10) ,而在他前面抽的人 皆未中签的概率; (2) 第 k 个抽签的人中签,而第 k-1 个抽签的人未中签的概率 (2ζkζ10). 解 分别用 B. 和 C. 表示所说的两个事件.按不全相异元素的排列模式,有 Ifll = C3 ), 0 IB.I =Cγ) (后面的川个人中有两个人中签) , |仇 I =G) (其余 8 个人中有两个人中签) 第 1 章预备知识 .14. 故所求的概率为 叶些1=f 些毕业 0 C3 ) lO 1 '" k '" 8, k = 9, 10; 叶ω 工 (~) 30 我们再来看两个较为复杂的例子. 从分别写有 1 , 2 ,…, 9 的 9 张卡片中任取两张,求两张卡片上所写 1JlJ 1. 3.8 两数之和不大于 10 的概率. 解 以 A 记两张卡片上所写两数之和不大于 10 的事件,先来计算 I AI- 假定两张卡片是被先后取出的,分别以 α 和 b 表示两张卡片上所写的数,那么 α 和 b 是 1 , 2 ,'" , 9 中的两个不同的数.记 α +b=s, 易知 8 注 3. 先看 8 = 2k-1 的情形.显然有 1 + (2k - 2) = 2 + (2k - 3) = 3 + (2k - 4) =… = (2k - 2) + 1 = 2k - 1, 所以一共有 2k - 2 个满足 α +b=2k-1 的有序数对 (α,时,并且其中显然都有 α并b 再看 8= 统的情形.由于 1 + (2k - 1) = 2 + (2k - 2) = 3 + (2k - 3) = ... = (2k - 1) + 1 = 2k , 所以一共有 2k-1 个满足 α +b= 纯的有序数对 (a, b) , 但是其中有一组为 α =b=k , 所以满足 α +b=2k 且 α #b 的有序数对 (α, b) 为 2k-2 个. 对 k = 2 , 3 , 4, 5 求和(注意 8 ;;, 3) ,即得 IAI = 2(2 +4+6 + 8) = 40 由于我们在计算 IAI 时假定了两张卡片是被先后取出的,即考虑了先后顺序, -一 n 中明飞 所以在计算 1111 时也应遵循同一原则,从而有 η 法 以 有 所 张 5-.9 一一 第 法 取 种 片 有 张 卡 第 =忏川叫 阳卡町 9-z= '1. 3 .15. 古典概型 本题还有其他解法,读者不妨自己一试. 例1.3.9 g(x) 设 G 是所有具有下述形式的逐段线性的函数 g(x) 的集合: g(O) g (j) = + αj(x-j) , j ,., x 运 j + 1, j = = 0, 0 , 1, 2,… , n-l , 其中句 =1 或一 1 现知计算机中存有该集合中的所有函数从中随机调取一个函 数,求随机事件 Ak 的概率,其中心表示所取出的函数 g(x) 属于如下子集. Gk 解 = {g 1 g(n) = 吟 , k 为绝对值不超过 n 的整数. 显然应当以 Q 表示所有不同的取法,因此 1111 就等于 G 中的函数个数. 由于 G 中的每一个函数都与一个数组(间,吨,… , "'n-l) 相对应,而自j = 1 或 一 1, j = 0, 1," . , n - 1 故知 G 中共有 2 n 个不同函数,因此就有 1111 在随机事件 Ak 中,所取出的函数 g(x) 满足条件 g(n) 定义知 , gω+ 1) = k. = 2n 而由函数 g(x) 的 = g (j) + 句,所以有 仰)=艺 (g(j + 1) - g(j)) = 艺 "'j 由于每个句都是 1 或 1 ,故若记数组(句,龟,… , "'n-l) 中 1 的个数为民记其中 n+k -1 的个数为 b, 则当事件 Ak 发生时,就应当有 α -b=k , a+b=n, 即有 α2 由于 α 表示 1 的个数,只能为整数,所以当 k 与 n 的奇偶性不同时,必有 IAkl =0; 而当 k 与 n 的奇偶性相同时,则有 IAkl= I 飞 , (0 , P(Ak) = < n 飞 1. 因此,求得 1 n+k 2 / k 与 n 的奇偶性不同, 1 ( n. l 豆面|哇些 1 , k 与 n 的奇偶性相同. 、飞 2 / 通过上述儿个例题,我们初步介绍了古典概型的概念及其解法,强调了解题时 所应遵循的基本原则,并且还展示了计数方法的多样性. 习题1. 3 1 掷两枚假子,求事件"出现的点数之和等于 3" 的概率. 2 从 5 双不同号码的鞋子中任取 4 只,求它们中至少有两只配成一双的概率 3 从正方体上面任意抽取 3 个顶点连成三角形,试求: (1) 所得的三角形为等边三角形 的概率; (2) 所得的三角形为直角等腰三角形的概率; (3) 所得的三角形为直角非等腰三角形的 概率. 第 1 章预备知识 .16. 4 考察正方体各个面的中心(一共 6 个点) 从中任意选择 3 个点连成三角形,试求· (1) 所得的三角形为等边三角形的概率; (2) 所得的三角形为直角等腰三角形的概率 5. 考察正方体各个面的中心(一共 6 个点).从中任意选择 3 个点连成三角形,把剩下的 3 个点也连成三角形.求所得的两个三角形相互全等的概率. 6. 袋中有 9 个球,其中 4 个自球、 5 个黑球,现从中不放回地抽取两个.试求: (1) 两个均 为自球的概率; (2) 两球一自一黑的概率; (3) 至少有一个黑球的概率. 7 在电话号码镜中任取一个电话号码,求后面四个数全不同的概率(假设后面四个数中 的每一个都等可能地取自 0, 1 , 2,…, 9) 8 一学生宿舍有 6 名学生,试求如下各事件的概率: (1) 6 个人生日都是在星期天; (2) 6 个人生日都不在星期天;但) 6 个人生日不都在星期天. 9. 袋内放有两枚五分的、三枚二分的和五枚一分的硬币,任取其中 5 枚,求钱数总额超过 一角的概率. 10 从 0, 1 , 2,'" , 9 共 10 个数字中不重复地任取 4 个,求它们能排成一个 4 位偶数的 概率. 11 在 1 , 2 , 3, 4, 5 五个数中先任意抽取一个,然后在剩下的四个中再抽取一个,假定这全 部 m 种可能都具有相同的概率试求如下各事件的概率有一个奇数在 (1) 第一次被抽到, (2) 第二次被抽到;但)两次都被抽到. 12. 扔一枚均匀的硬币,直到它连续出现两次相同的结果为止,试描述此样本空间,并求 下列事件的概率 (1) 试验在扔第六次之前结束; (2) 必须扔偶数次才能结束 13 在一副扑克牌 (52 张,不包括大小玉牌)中任取 4 张,求 (1) 四张牌花色全不相同的 概率; (2) 四张牌花色不全相同的概率 14 某停车场有 12 个位置排成一列,试求有 8 个位置停了车,而空着的 4 个位置连在 一起的概率. 15. 10 个人站成一行照相,其中有两人是弟兄.求他们之间恰好间隔 k 个人的概率,其中 k = 0, 1,…, 8. 16. 房间里有 10 个人,分别佩戴着从 1~ 1O号的纪念章,现等可肯E地任选 3 个不同的人, 记录其纪念章的号码试求 (1) 最小号码为 5 的概率; (2) 最大号码为 5 的概率 17 甲袋里有 3 个自球、 7 个红球、 15 个黑球,乙袋里有 10 个自球、 6 个红球、 9 个黑球. 从两袋中各取一味,求两球颜色相同的概率. 18 在一个装有 n 个自球、 n 个黑球、 n 个红球的袋中,不放回地任取 m 个球求其中 白、黑、虹球分别为 m1 , m2 , ma (ml +m2 +m3 = m) 个的概率. 19. 从 n 双不同的鞋子中任取 2r (2r < n) 只,求下列事件发生的概率: (1) 没有成双的 鞋子; (2) 只有一双鞋子; (3) 恰有两双鞋子; (4) 有 T 双鞋子 20 一种彩票的游戏规则如下每张彩票可以从 1 ~ 33 中不重复地任选 7 个数,开奖时 有摇奖机在 1 ~33 中开出 7 个基本号和一个特别号(均不重复),彩票号码如果与基本号全部 对上(不计次序),为一等奖,对上 6 个基本号和特别号,为二等奖;对上 6 个基本号,为三等 奖;对上 5 个基本号和特别号,为四等奖.现分别以 A" 血 , A3 ,~ 表示中一、二、三、四等奖 的事件.试求它们的概率, .17. '1. 4 古典概型的一些例子 21. 2 x 2 矩阵 (a b) 中的每个元素都是 0 或 1,将所有这样的矩阵所成的集合记为 \ c d J M 若 M 中的矩阵满足条件 t‘Uα +b ι, c+d ι, α+c 乌, b+d 互不相等飞就称为 中任意抽取一个矩阵'求该矩阵为 *1. 4 古典概型的一些例子 为了进一步了解古典概型,再来看一些例子 概率论中的许多问题都可以用"盒中取球"的方式描述:盒子中放有一些同样 大小的小球(上面可能标有号码),从中取出一些来,取法有两种:一种是取出的球 不放回,接着取下一个,称为"无放回抽取"或"无放回抽样",另一种是每取出一个 球后放回,再取下一个球,称为"有放回抽取"或"有放回抽样" 例1.4.1 盒子中放有lO个分别标有号码 1 , 2 ,…,lO的小球,从中随机抽取 3 个球.试分别对"无放回抽取"和"有放回抽取"方式求: (1) 3 个球的号码都不 大于 7 的概率; (2) 球上的最大号码为 7 的概率. 解 以 A 表示 3 个球的号码都不太于 7 的事件,以 B 表示球上的最大号码 为 7 的事件;再以 C 表示 3 个球的号码都不大于 6 的事件. 在"无放回抽取"方式下, 11 由"从 10 个不同元素中选取 3 个不同元素"的所 (1 0\ 有不同选法组成,故有 1111 = \ ~')事件 A 由"从 1~7 号球这 7 个不同元素中选 取 3 个不同元素'的所有不同选法组成,嗣同I=G) 而在事件 B 中由于 7 号 球一定被取出,所以只要再从 1~6 号球这 6 个不同元素中选取两个不同元素,故 有 IBI=G) 所以此时 \1l/ /I1、、/ 一l1飞 aun 一- -A 一。。 (~) , "-MUqzu 一山 1I/ P B 一 (如 G)_2 在"有放回抽取"方式下,可将 Q 视为"由 10 个不同元素中选取 3 个元素的可 重排列"的所有不同排法组成,故有 1111 = lO3 对于事件 A, 则相应地有 IAI 所以 P(A) = (主) = 73 . 第 1 章预备知识 .18. 为了计算 IBI ,注意到 B IAI 一 101 = 73_6 3 ,从而 P(B) = A-G, 73_63 并且 G (7 飞 3 :n = 丁百τ= I 1 0" \ 10 J c =6 A, 易知 IGI (6 \ 3 ,所以 IBI = 3 - I\ 10 ,-n 1 = J 1 上述解答过程和阳铀的运算如果注意到 P(C)=(2)3,那么我们就会 发现这样一个现象:当 B=A-G, 并且 GcA 时,有 P(B) = P(A) - P(G). 以后我们将会介绍,这一现象正是概率的基本性质"可加性"的体现. 如果不按照上述方法计算 IBI ,那么当然也可以求出其值,但是要麻烦得多. 分别以 B" 马和 B3 表示 7 号球被取出 1 次、 2 次和 3 次的事件,则有 IBI IB, I+ IB21 + I B31. 由于 1111 = 10 3 = 是按排列模式计算的,所以 IBjl 也必须按排列模 = 13= 1 在 IB, I = 3 . 62= 108. 式计算 I B31 的计算比较简单,由于每次都只能取 7 号球,所以|马 1 计算 IB, I 时必须考虑 7 号球是在哪一次取球时被取到的困此 同理, IB21 = 3.6 = 18. 从而有 IBI B 1B , ) + IB21 + B= 31 108 + 18 + 1 P( = = = 127 1111 1111 1000 1000 I fJlJ 1.4.2 I 口袋里有 T 个红球、 b 个黑球,从中任意取出 n 个球, r+b 注 n. 试 分别对"无放回抽取"和 概率率. 解 用 A 表示其中恰有 k 个红球的事件.视 Q 为从 r+b 个球取出 n 个球来 的一切可能取法的集合. fr+ 趴 = [' -'-").当事件 在"无放回抽取"时,有 1111 飞 n A 发生时,从 T 个红球中取出 I 了 k 个,从 b 个黑球中取出了 n-k 个,所以 IAI=(~)(b ,), 因此 飞 kJ 飞n-kJ (A) = 以J (r:b) 在"有放回抽取"时,有 1111 = (r +b)n , 注意这是按可重排列模式计算出的数 目,即其中含有"顺序"因此在计算 IAI 时,也必须考虑"顺序"当事件 A 发生时, '1. 4 .19. 古典概型的一些例子 从 T 个红球中有放回地取出了 k 个,有取法 r k 种,从 b 个黑球中有放回地取出了 n-k 个,有取法 b n - k 种,但是在 n 次取球中,哪 k 次取出红球,哪 n-k 次取出 黑球,却又有一个不尽相异元素的排列问题所以 IAI =(~)州 k,于是知 阳)=(023=(;)(二讥 在上述解答中所得到的两个结果都有重要的概率意义,它们分别对应了概率论 中的超儿何分布(无放回场合)和工项分布(有放回场合),我们将会在今后进一步 阐明. 例1.4.3 将 n 个不同的小球放入 m 个不同的盒子 , n 运 m ,各个球放入各个盒 子的机会相等.试求如下各事件的概率: (1) 在所指定的某 n 个盒子中各放入 1 个 球; (2) 每个盒子都至多放入 1 个球; (3) 在所指定的某 1 个盒子中恰放入 k 个球 解 分别以 A, B, C 表示 3 个事件.按可重排列模式计算,得 1 f! I=m n . 在事件 A 中 , n 个不同的小球被放入所指定的某 n 个盒子中,每盒 1 球,由排列 模式知 IAI=n! 在事件时,有 n 个盒中各放入 1 个球,机个盒子,有(:) 种选法,再对小球在这些盒子中进行排列,有 π! 种排法,故得 IBI = (:)n! 在 事件 C 中,在所指定的 1 个盒子中放有 k 个球,哪 k 个球,有(~)种选法,而 其余 n-k 个球在其余 m-1 个盒子中可任意放置,有放法 (m - 1)n-k 种,故得 ICI = (~)(m-1沪 k 综合上述,得 n! P(A) = 百 , fJlJ 1.4.4 fm飞 n! T'lo/Tl\ P(B) = l'~) ~~, (n飞 (m Ta/rY\ P(C) = l~) _l)n-k 面 有 n 根短绳,现把它们的知个端头两两任意连接.试求如下各事 件的概率: (1) n 根短绳恰结成 n 个圈; (2) n 根短绳恰结成 1 个圈 解 分别以 A 和 B 表示上述两事件。应当由一切可能的连接方式组成. 先来考虑 1 f! 1 的求法.可以设想把 2n 个端头排成一行,然后规定将第 2k -1 个端头与第 2k 个端头相连接, k = 1, 2,'" , n, 于是每一种排法对应一种连法,得 。 = (2n)!. 在事件 A 中,每根短绳的两端自行连接,这相当于在 2n 个端头的排列中,每 根短绳的两端都相邻放置,于是可先对 n 根短绳进行排列,以确定各根短绳的先后 位置,再考虑每根短绳的两端的前后位置,得知 IAI = n!(2!)n. 第 1 章预备知识 .20. 在事件 B 中,对每个 k (k = 1 , 2 ,… , n) , 在第 2k-1 个位置上与第 2k 个位置 上所放置的端头都不属于同一根短绳,所以应小心从事下面来对每个 k 逐一考虑 在第 1 , 2 两个位置上,不能放同一根短绳的两端,所以各有拙和 2n-2 种选法(在 第 2 个位置上不能放第 1 个位置上所放短绳的另一端).为了考察在第 3 , 4 两个位 置上的放法数目,我们设想已经将放在第 1 , 2 两个位置上的端头连接,于是还剩下 n-1 根短绳这时就又回到开始的情况,知道最初的两个位置各有 2n-2 和 2n-4 种选法(在第 3 个位置上,可以任意从 2n-2 个端头中选取 1 个;在第 4 个位置上 不能放第 3 个位置上所放短绳的另一端);循此下去,可知第 2k -1 个位置上与第 2k 个位置上各有如 2(k - 1) 和 2n-2k 种选法所以有 IBI = (2n)II(2n - 2)11 综合上述,得 12n _ 1 P(A) = ;~~ " =一一一丁 , (2n)1 nfD\ _ 飞…叮 P(B) 一 (2n)II(2n - 2)11 _ (2n - 2)11 一 (2n)1 (2η-1)11' 现在给出问题 (1) 的另一种解法. 采用"无编号分组模式"将如个端头分为 n 个无编号的组,每组两个端头, 同一组内的两个端头连接,共有不同的分组方式 (2n)1 阳n)1 |Q|=7= 一-t=(2n1)!! nl(21) 山飞2) 种.在事件 A 发生时,每根短缉的两个端头都分在同一组,只有一种分法,即 IAI= 1 ,所以 IAI (A)== 1111 (2n - 1)11' 显然两种解法的结果一致. 例1.4.5 计算机里存有方程 Xl+ X2+"'+ Xn=m 的所有非负整数解,其 中 m 是正整数, n~m. 从中随机地调取一组解 (Xl , X2)'" , x n ) , 试求该组解是正 整数解的概率. 解 以 A 表示上述事件,则 1111 和 IAI 分别等于上述方程的所有非负整数解 的个数和正整数解的个数.利用第二类分球入盒的模式,设想将 m 个相同的小球 分入 n 个不同的盒子,然后将第 k 个盒子中的球数作为冉的值, k = 1, 2,… ,n. 显然每一种放法对应了原方程的一组解反之,原方程的每一组解也都以如此方式 对应了一种分球入盒的方式,所以两者的个数相等. 非负整数解的情况对应于容许有空盒出现,所以 1111 = (m + n :- 1) ;正整数 、 n-l I '1. 4 .21. 古典概型的一些例子 解的情况对应于不容许有空盒出现,所以 IAI = (m - .1) .于是 飞 n -11 mn ill-- 1l/ 、 唱i 一+n J''飞 E、、 fJlJ 1.4.6 一- P A 一一-n /11\-m 11--1 有 10 本不同的书,把它们随机地分给 5 个人.试求如下各事件的 概率: (1) 甲、乙、丙各得 2 本,丁得 3 本,戊得 1 本; (2) 有 3 人各得 2 本,有 1 人 得 3 本,有 1 人得 1 本. 解 分别用 A 和 B 表示上述两个事件,把 Q 视为由一切"分配方式"形成的 集合.由可重排列模式知 1111 = 5凡而由多组组合模式知 IAI= lO l (21)3 .31 . 11' 所以 P(A) lnl = 一二二一 (21)3 下面来求 IBI 先把 10 本书分为 5 个无编号的组,有 3 组各 2 本,有 1 组为 3 本,有 1 组为 1 本,有分法 α= 101 种,然后把 5 组书分配给 5 个人有 51 (21)3 . 31 . 31 种分配方式,所以 。," 一( P(B) si WU-Wai ---3 li-----dow l--- 。 故得 ! 筐。 B i-2, = 可旦旦. 比较 P(A) 和 P(B) , 发现 P但) = ~P(A) = 20P队) 那么这是为什么呢?我们可以从另一个角度来给出解释:事实上, IAI 表示"有某 3 个指定的人各得 2 本,某 1 个指定的人得 3 本,某 1 个指定的人得 1 本"的所有不 同的分法数目;而 IBI 表示"有 3 人各得 2 本,有 1 人得 3 本,有 1 人得 1 本"的 所有不同的分法数目因此 IBI=αIAI ,其中 α 表示如何指定 3 个人、 1 个人和 1 个人的所有不同方式数目由多组组合模式易知 α= __ 51__= 51 311111 31 = --, 20. .22. 第 1 章预备知识 所以 IBIαIAI P(B)===aP(A)=20P(A). 1111 1111 这样我们就得到了 P(B) 的另一种计算方式. fJlJ 1.4.7 罐中有 m 个自球和 n 个黑球 (m > n). 将球逐个取出,不再放回. 如果在取球过程中有某一时刻,所取出的白球与黑球数目相等,就说出现了一次巧 合求至少出现一次巧合的概率. 解 将至少出现一次巧合的事件记作 E, 将第一个取出的球为自球的事件记 作 A, 将第一个取出的球为黑球的事件记作 B. 脚, B CE, 且 P(B)==1. 为了求出 P(EA) , 利用例1.3.9 中的函数 • .n g(x). 令 r 1, 第 1 个取出的球是白球, 句= \-1,第 1 个取出的球是黑球 于是 g(O) = 0, g(m+n) = m-n. 如果在平面直角坐标系中依次连接点 (j, g (j)), j = 0 , 1 , 2 ,… , m+n, 则每一种取球方式都对应为一条以 (0 , 0) 为起点、以 (m+n, m-n) 为终点的折线,折线上的每一段的斜率不是 1 就是一 1 ,终点 (m+n , m-n) 位于 z 轴的上方. 。由所有不同的折线组成,容易知道 1111 = (m;n) 事件 E 由所有与 z 轴 有公共点的折线组成事件 B 中的折线都经过点 (1 ,一 1)( 图1.2). 事件 EA 中的折 线都经过点 (1 , 1) ,但都与 z 轴有公共点.如果将事件 EA 中的折线与 z 轴的第一 个公共点(图1.3 中的点 T) 以左的部分作关于 z 轴的镜面反射,那么就得到一条 经过点 (1 ,一 1) 的折线;反之,任何一条经过点 (1 ,一 1) 的折线都与 z 轴有公共点, 而若将它与 z 轴的第一个公共点以左的部分作关于 z 轴的镜面反射,则得到一条 经过点 (1 , 1) 的与 z 轴有公共点的折线这表明事件 EA 与 B 中的折线可以形成 一一对应,所以 IEAI=IBI ,如此一来, P(EA) = P(B) = 叶玩'从而 P但) = P(EA) 。 μ、/ 图1. 2 路径示意图 +P但)=主再 ~^/ 图1.3 镜面反射示意图 '1. 4 古典概型的一些例子 .23. 有趣的是,在计算概率 P(E) 时,我们并未求出事件 E 中的折线条数.相反地, 可以利用概率 P(E) 来求 IEI ,事实上, IEI = 1111. P(E) = (m;n) 志 =2(m+;-1) 以上的例子表明各种计数模式在古典概型中多有应用.并且同一个问题可以 有多种不同的计算方式.我们应该学会从不同的角度对计算结果作出解释,以期学 会学活各种不同的计算方法. 习题1.4 1.从一副去掉了大小王的扑克牌中不放回地任意抽取 5 张,分别求如下各事件的概率: (1) 最大同花 (5 张牌恰为同一花色的 10, J , Q, K, A); (2) 四同点(其中有 4 张牌的面值相同); (3) 满堂(有两张牌同面值,且另 3 张牌同面值); (4) 顺子 (5 张牌的顺序连续,但可不同花色); (5) 三同点(有 3 张牌面值相同,另两张牌面值不同); (6) 两对 (4 张牌成两对,另有一张其他牌); (7) 一对(有两张牌面值相同,另外 3 张牌为各不相同的其他牌). 2 多次抛掷一枚均匀的假子,哪个事件的概率更大 A={掷出的假子之和为偶数}, B={掷出的假子之和为奇数}? 3 太厅里共有 n+k 个座位, n 个人随意入座,试求某给定的 m (m ~ n) 个座位有人入 座的概率 4. 考察由 N 个元素构成的集合,随意取出它的一个非空子集.试求该子集含有偶数个元 素的概率 5. 罐中放有 2n 个白:球和 2n 个黑球,从中有放回地随意抽取 2n 个球.试求所取出的球 中自球与黑球数目相等的概率, 6 罐中有 α 个自球和 b 个黑球 (α 注 2, b ~ 2) ,从中无放回地随意抽取两个球试求如下 事件的概率: (1) 两个球的颜色相同; (2) 两个球的颜色不同. 7 罐中有 5 个颜色各异的球,进行一次"大小为 25 的有放回抽样"试求抽得的 25 个 球中每种颜色的球各有 5 个的概率. 8 罐中有一些自球和黑球,并且自球数目与黑球数目之比为 α,从中逐个取出所有的球. 试求最后一个取出的球是黑球的概率 9. n 个人随机地坐成一排,试求出两个指定的人相邻而坐的概率.如果 n 个人坐成一圃, 再求该概率. 10 将 30 个球等可肯她放入 8 个盒子试求如下事件的概率:有 3 个盒子为空盒,有 2 个盒子各放 3 个球,有 2 个盒子各放 6 个球,有 1 个盒子放 12 个球 第 1 章预备知识 .24. 11 从一个由 n 个元素构成的总体中抽出一个大小为 T 的样本,求指定的 N 个元素不 包含在样本中的概率.假定: (1) 无放回; (2) 有放回.并且分别在 (a) n = 100 , r = N = 3; (b) n = 100 , r = N = 10 时,比较上述两种抽样法所得的概率. 12. 罐中放有一些黑球和白球,从中无放回地逐个取出所有的球.哪个事件的概率较大. (1) 第一个取出的球为自球;但)最后一个取出的球为自球? 13 罐中放有一些自球和黑球,从中有放回地任取两球证明:两球同色的概率不小于; 14. 罐中放有 m 个白球和 n 个黑球,从中无放回地逐个取出所有的球.求第 k 个取出的 球为自球的概率, 15 罐中有 m 个自球和 n 个黑球 (m> 时,从中无放回地逐个取出所有的球试求在某 一时刻罐中剩下的自球数目与黑球数目相等的概率(提示:参阅例1.4.7.) 16 现有 2n 张卡片,上面分别写着号码 1 '" 2n, 另有 2n 个信封,亦分别写有这些号码. 随机地将卡片装入信封,每个信封装 1 张卡片.试求每个信封与装在其内的卡片的号码之和均 为偶数的概率. 17 将一副去掉了大小王的扑克牌精心洗牌后叠成一摞,试求如下各事件的概率 (1) 最 上面 4 张全为 A; (2) 最上面一张和最下面一张均为 A; (3) 各 A 之间间隔相同的张数 t 18 每一页书都有 N 个符号可能误印,现知全书共有 n 页, r 个印错的符号证明第 1, 2,'" , n 页分别含有 Tl , T2 ,'" , Tn 个印错的符号 I L: rj 、 j=1 =叶的概率为 J (~)J (~) ... (~) T1 \T2/ \T.饵 (n~) 19. 某泊漆公司发出 17 桶泊潦,其中自潦 10 桶,黑潦 4 桶,红漆 3 桶,在搬运中所有泊 潦的标签脱落,交货人随意将这些泊潦发给顾客.问一个订货为 4 桶白潦、 3 桶黑潦和 2 桶红 漆的顾客,能按所定的颜色如数得到订货的概率是多少? 20 将 n 根手杖都截成一长一短两部分,然后将所得的 2n 个小段随机分成 n 对,每对 连接成一根新的"手杖飞求以下各事件的概率: (1) 这 2n 个小段全部被重新组成原来的手杖; (2) 均为长的部分与短的部分连接. 21.令 α, b, c, d 为满足 α +b+c+d=13 的四个非负整数,在一次桥牌游戏中,求东南 西北各家分别拿到 a, b, c, d 张黑桃的概率 p(α, b, c, d) 试构造一个把红球、黑球放入盒中的模 型,并把此问题作为一个特例 22 利用上题的结果求出概率 p(α, b, c, 的,如果 (1)α= 5, b = 4, c = 3, d = 1; (2)α = 1. 5 b = c = 4, d = 1; (3)α = b = 4, c= 3, d = 2. 几何概型 同古典概型一样,几何概型也是一种建立在等可能性基础上的概率模型先看 1. 5 几何概型 .25. 一些例子. 例1.5.1 向长度等于 1 的线段上随机抛掷两个点,把线段分成长度分别为 x, y 和 z 的 3 段,试求可以用这 3 条线段为边构成三角形的概率. 解 用向量 (x, y, z) 来表示抛掷结果,这是 3 维空间中的一个点所有可能的 抛掷结果的集合是 。= {(x ,y , z) I x + y + z = 1, x;;' 0, y 注 0, z;;' O} , 这是 3 维空间中的一个闭区域,确切地说,是平面 x+y+z=l 中的一个三角形. 如果用 A 表示 3 条线段可以形成三角形的事件,则当事件 A 发生时,必有 x + Y > z , y + z > x , z + x > y. 所以应有 A={(x, y, z) I 怡,缸, Z)E I1, x+y>z , 自 +z>x, z 它也是平面 x+y+z=l 中的一个三角 z+x>y }, E 形(图1.4) 由于两个点是随机抛掷的,所以样本 点 (x, y, z) 在。中均匀分布,因此我们合 霄' 理地认为 P(A) 就应当等于三角形 A 的 面积与三角形。的面积之比大家从实变 G 函数论中己经知道,三角形的面积就是其 Lebesgue 测度.所以分别用 L(I1)和 L(A) F 表示。与 A 的面积,这里 L 是 Lebesgue Z 图1.4 的缩写.于是就有 P(A) = 例1.5.1 的模型 L(A) ;~;':~. L( I1) (1. 5.1) 公式(1. 5.1) 就是几何概型中的概率计算公式.当 Q 与 A 是 n 维空间]Rn 中 的 Lebesgue可 ~J 集时, L(I1)和 L(A) 相应地表示它们的饥维 Lebesgue测皮. 一般来说,在一维场合,。与 A 往往是线段,此时它们的 Lebesgue 测度就是线 段的长度;在二维场合,。与 A 往往是规则的平面图形,此时它们的 Lebesgue 测度 就是平面图形的面积;在 3 维场合, JJ!U往往是体积;等等 如此一来不难算得,在例1. 5.1 中有 (A) (A)== (11) 第 1 章预备知识 .26. 9JJ 1.5.2 甲、乙二人于某日下午 6 时至 7 时之间到达某处,每人都只在该处 停留 10 分钟.试求他们可在该处相遇的概率 解 以 (x, y) 表示两人到达该处的时间,则易知 。 = {(x , 自) I 6 运 zζ7, 6 运自 ζ7} , 如果以 A 表示两人在该处相遇的事件, U 则有 A={叫 (x, y) E !1, Ix 时} 可以认为两人均随机地在 6 时与 7 时 之间到达该处,所以样本点 (x , y) 在。 中均匀分布,故可用几何概型解之显 t 。 I T 然,。是一个边长为 1 的正方形,而 AC X 是直角边长为 5/6 的两个直角等腰三 图1. 5 约会问题的模型 一- i-nd i-no 咱 2 5-6 咱 1 r'『l飞、 L( AC) = 'i 、、,『,/ L( A) 一一 = 咱i 。 L( ) 角形之并(图1. 5) ,所以 于是由公式(1. 5.1) 立得 L(A) P(A)== L( !1) 在上述计算中,我们利用了 L(A) = L( !1) - L(A汀,这从几何直观看是显然的. 但若从概率角度来看,上述事实也可以表述为 (!1) - L(A") P(A)==1-P(ACL L( !1) 下面将会进一步明确概率事实上是一个测度,并且有 P(!1) = 1 ,所以该等式不 过只是测度性质的一个反映. 9JJ 1.5.3 解 E. 在圆周上随机选取 3 个点 A, B, C, 求 /::,.ABC 为锐角三角形的概率. 用 E 表示 /::,.ABC 为锐角三角形的事件.现在的问题是如何表述。和 显然可以假定圆的半径是 1 ,圆心为 O. 于是 /::,.ABC 为锐角三角形等价于 LABC, 丘BCA, 丘CAB 均小于 90 ,而这又等价于弧 AB , BC, CA 的长度均小于 0 π. 显然可以先任意固定一个点,由该点处剪开圆周,把圆周拉直为一条长度为细 的线段.然后向该线段随机抛掷两个点,把线段分成长度分别为 x , 自和 z 的 3 段. 1. 5 .27. 几何概型 于是只要这 3 条线段的长度都小于 π,则 6ABC 就是锐角三角形.这样一来,便知 可将 Q 和 E 分别表述为 。 = {(x , 缸,对 Ix+y+z=2咽, x 注 0, y 注 0 , z 注。}, E={(x , y , z) I x+ 自 +z=2π , O<x< 冗, 0< 自〈冗, O<z< :n:}. 由于点是随机抛掷的,所以样本点 (x, y , z) 在 Q 中均匀分布,故由公式(1. 5.1) 得 (E) P(E)== (11) 例1.5.4 平面上画满间距为 α 的平行直线,向该平面随机投掷一枚长度为 l 的针 (1 <α) ,试求针与直线相交的概率 这个问题称为 Buffon 投针问题,是概率论中的一个著名问题(图1.6). 解 以 E 表示针与直线相交的事件.我们来看如何描述。和 E 易知,针的 位置可由它的中点到最近的直线的距离 p, 以及它与直线的夹角。决定.所以 11= {(P , 8) I 0ζp 寸, 0';;8 寸) 而针与直线相交,当且仅当, ρ 寸血。(图1.7) 所以 E = {(P ,8) I (p ,8) E 11, p ζ;sin p 0/2 HM • 飞}õ-- ~ 圈1.6 1-2 av 8 田 te O俨 x 一- 」 uvqa 。 。 投针问题 π/2 图1.7 投针问题的模型 随机投掷意味着样本点 (ρ, 8) 在 Q 中均匀分布,所以适用于几何概型易见 L( I1) = ~a , L(E) = 1• Md=; 所以由公式(1. 5.1) 得 _ L(E) _ 21 L( I1) P(E) 一一 .28. 第 1 章预备知识 与古典概型不同,几何概型的引入还带来了观念上的一些变化.下面来看一些 例子- fJlJ 1.5.5 往区间 [0 , 1] 中随机抛掷一个质点,求该质点落在区间中点的概率. 以 E 表示质点落在区间中点的事件在这里, n = [0 , 1], E = g} ,所以 L(n) = 1, L(E) = 0 ,于是 -(E)-o L(n) P(E) 一一 这表明,"往区间 [0 , 1] 中随机抛掷一个质点,质点落在区间中点"是一个零概 率事件更有甚者,如下面的例子. 例1. 5.6 往区间 [0 , 1] 中随机抛掷一个质点,求质点落在区间中有理点上的 概率. 以 E 表示质点落在区间中有理点上的事件.在这里, n= [0,日 , E 为 [0, 1] 中 的有理点集,所以 L(n) = 1, L(E) = 0 ,于是 L(E) P(E) = ~~::;~ (n) = O. 这表明,"往区间 [0 , 1] 中随机抛掷一个质点,质点落在区间中有理点上"也是 一个零概率事件但是,以上两个事件都不是不可能事件.这就告诉我们·零概率事 件不等于不可能事件.另一方面,还需告诉大家:概率等于 1 的事件也并不就是必 然事件下面就是一个例子. fJlJ 1.5.7 往区间归, 1] 中随机抛掷一个质点,求质点落在区间 (0 , 1) 中的概率 今后,我们把概率为 1 的事件称为几乎必然事件,把概率为 0 的事件称为几乎 不可能事件. 除此之外,几何概型中的等可能性有时还会产生理解上的歧义事实上,古典 概型中的样本空间中一共只有有限个样本点,其等可能性是十分简单明确的.然而, 在几何概型中,"样本空间是什么?谁是等可能的?"等一系列基本问题的含义有时 并不明确,可能会产生出完全不同的理解来 下面要介绍的就是概率论中的一个著名问题, Bertrand 从对它的 3 种不同理 解出发,给出了 3 种不同解法,并且得到了 3 种完全不同的答案这在历史上被称 为 Bertrand 奇论(贝特朗奇论). Be巾and 是法国数学家,该奇论是他在 1889 年提 出来的.这一奇论的出现使得一些人对当时概率论中的一些概念和方法产生了怀 疑当然也成为促使概率论公理化体系诞生的一个原因 fJlJ 1.5.8 解 在单位圆内任作一弦,试求弦长大于而的概率. 我们以 E 表示弦长大于 d 的事件.问题是如何描述。和 E. 1. 5 几何概型 解法 1 .29. 不妨认为弦的一个端点 A 已经取定,问题变为在圆周上取另一端点 B. 于是。就是整个圆周.由于单位圆的内接正三角形的边长等于 J豆,所以若以 A 为一个顶点作单位圆的内接正三角形 L'.AMN , 则当且仅当弦 AB 与边 MN 相 交时,弦 AB 的长度大于而,而此时端点 B 位于弧 MN 上,所以 E 就是弧 MN (图1.8(1)) 以 L 表示弧长,则有 L(I1) = L (单位圆的圆周) =拙, L(山)=号 故由几何概型概率公式(1. 5.1) 得 (E) = (MN) _ (11) 一 1 M (3) 图1.8 解法 2 在单位圆内取定一条直径 MN, 只考虑与 MN 垂直的弦 AB, 此时弦 AB 的中点 K 必在该直径上所以可把直径 MN 作为 11. 易知,当且仅当弦 AB 的中点 K 与圆Jt\ 0 的距离小于 i 时,弦 AB 的长度大于 d酌 8(2)) 所以 E={KI KEM矶 IKOI 寸) 于是 L(I1) = IMNI = 2, L(E) = 1 ,故由几何概型概率公式(1. 5.1) 得 L(E) 1 P(E)== L( I1) 解法 3 弦 AB 的长度仅由它的中点 K 的位置确定,易知,当且仅当中点 K 位于以 1/2 为半径的同心圆之内时,弦 AB 的长度大于 d豆所以在这里,。就是 整个单位圆 , E 就是以;为半径的同心圆, L 就是它们的面积(图1.8(3)) 故由几 何概型概率公式(1. 5.1) 得 _ L(E) _ 1 P(E) 一一 (11) 这种用不同解法得到不同结论的情况,我们还是第一次遇到.仔细分析上述解 答过程,可知产生不同结论的原因是·题目中的"任作一弦"的含义不够清楚,因而 第 1 章预备知识 .30. 可对其作各种不同理解,从而导致对样本空间。和随机事件 E 的不同理解.这些 不同的理解对题目中的含义不清之处作了不同的演化,使之成为不同的概率计算问 题,因此产生出多种不同的结论也就不足为奇了,因为它们事实上是针对不同问题 所给出的答案. "几何概型"的这种特点,使得它不宜于过早地出现在初学者面前在教育部颁 布的《高中数学课程标准 (2017 版)>>中已经不把"几何概型"列入教学内容,这是 一件值得庆幸的事情 习题1. 5 1 假定在例1. 5.2 中,还有第 3 个人也参加约定试求如下事件的概率: (1) 3 个人可以相 遇的概率; (2) 至少有两个人可以相遇的概率 2 甲、乙两船欲停靠在同一码头假设它们都有可能在某天的一昼夜内任何时刻到达,且 甲船与乙船到达后各需在码头停留 3 小时与 4 小时.求有船到达时需等待空出码头的概率. 3 向面积为 S 的 t;ABC 内任投一点 P, 求 t;PBC 的面积小于 8(2 的概率 4 在圆周上任取两点 A, B 连成一弦,再任取两点 C, D 连成一弦.求弦 AB 与弦 CD 相 交的概率 5 在一张画有正方形格子的纸上随机投放一枚直径为 1 的硬币试问,当方格边长 α 小 于多少时,硬币与方格不相交的概率小于 1%? 6 在区间(口, 1] 内任取两个数,求下列事件的概率: (1) 两数之和小于1.3i 但)两数之差 的绝对值大于 0.2; (3) 以上两要求都满足 7 把长为 t 的线段任意折成 3 段,试求如下各事件的概率: (1) 它们可构成一个三角形; 21 (2) 它们中最长的不超过百 8 在区间 (-1 , 1) 上在取两数 X, Y, 考察二次方程泸 +Xx+y=o 的两根,试求如下 事件的概率: (1) 它们都是实数; (2) 它们都是正数. 9. 在平面上画有两族相互垂直的平行直线,它们将平面分为一系列边长为 α 和 b 的矩形. 向该平面随机地投掷一校长度为 2r(2r<a+b 而再E丽)的针,试求此针至少与 一条所画直线相交的概率. 10 在平面上画有一些问隔距离均为 α 的平行直线,向该平面抛掷一枚直径为 R(R< α(2) 的硬币试求硬币与任何直线相交的概率 11. 在圆内作内接正方形,向圆中随意抛掷一个点.试求该点落在正方形中的概率. 12 向一条线段上随机地相继抛掷 3 个点试求第 3 个点落在前两个点之间的概率. 13 长度为 a. + 甸的线段用分点分成长度分别为剧和旬的两部分.向该线段随机地 相继抛掷 n 个点.试求 π 个点中恰有 m 个点落在长度为剧的部分中的概率 14. 向一个正方形中随机抛掷 3 个点,试求它们形成下述三角形之顶点的概率: (1) 任一 三角形; (2) 正三角形; (3) 直角三角形. '1. 6 絮话概率论 .31. *1. 6 絮话概率论 随着人类社会的进步、科学技术的发展、经济全球化的进程日益加快,概率论 获得了越来越大的发展动力和越来越广泛的应用如今概率论已被广泛地应用于 自然科学、环境保护、工程技术、经济管理的许多领域,尤其是在市场经济发展的 今天,人们对金融保险领域的随机现象和变化规律的研究更是取得了长足的进步 概率论作为一门科学已被人们广泛接受,并日益成为人类社会和经济生活中的一种 不可或缺的工具 概率论能够发展到今天,是经过了一段曲折的历程的 300 多年前,当概率论 刚刚萌芽时,只是赌博场上的一种产物.人们在利用纸牌、假子以及形形色色的工 具进行赌博时,遇到了许多无法解释的问题由于输赢无法预言,涉及金钱的得失, 人们试图了解其中的规律 .17 世纪时,赌徒中的一些有身份的人开始向他们的数学 家朋友请教.当时欧洲的一些颇有声望的数学家都参加了有关的讨论,如阳E时, Pascal 等.由此产生出概率论中的一些最初的概念,以及一些计算"等可能"类型 概率的方法.在漫长的历史进程中,许多学者讨论过等可能性问题,也讨论过概率 论中各种概念的精确化问题例如,不少人做过抛掷硬币的试验表1. 2 就是其中 一些人的试验记录. 表1.2 试验者 抛硬币次数 出现正面次数 出现正面频率 Buffon De Morgan 4040 2048 2048 4979 6019 12012 39699 0.5069 Feller Pearson Pearson Lomanovskü 咀92 100∞ 12000 24000 80640 0.50日5 0.4979 0.5016 0.5005 0.4923 下面来分析一下他们的试验.如果以 A 表示抛出正面,以 Nn(A) 表示在 n 次 抛掷硬币中正面的出现次数,那么 Nn(A) fn(A)-1 就称为正面的出现频率.由表1. 2 中的数据可以看出,正面的出现频率 jn(A) 始 终在 0.5 附近摆动,并且抛掷次数越多,频率 jn(A) 就越接近于 0.5. 这一事实表 明①在抛掷硬币的试验中,关于出现正面和出现反面的等可能性假定是合理的; ②随机事件发生的可能性是一个可以进行度量的客观存在的量,它会在大数量的 重复试验中通过频率 jn(A) 反映出来,③频率 jn(A) 可以作为概率 P(A) 的近似 .32. 第 1 章预备知识 值,并且当试验次数 n 充分大时,近似程度会足够好. 但是,人们也不能不注意到上述表述中的不严密之处何谓"抛掷次数越多 z 频 率 fn(A) 就越接近于 P(A)巧这里显然不能用 "E-d 语言"来描述因为我们不能 对任意给出的 ε> 0 ,找到一个自然数时,使得对一切 n > no 都能成立 Ifn(A) - P(A)I < ε 事实上,人们在这里也不是这个意思,这里的"频率 fn(A) 越来越接近于 P(A)" 的 含义应当是指"随着"的增大, (lfn(A) - P(A)I 注 ε) 发生的可能性越来越小"或 者说,"随着 n 的增大,事件 (lfn(A) - P(A)I ~ε) 的发生概率 P(lfn(A) - P(A)I 注 ε) 趋向于。" 然而这样一来,人们就又陷入了一个难以摆脱的怪圈之中.一方面"频率接近 于概率"表明概率是一个客观存在,并且频率可以作为概率的近似值;另一方面,频 率接近于概率的含义本身却又需要通过"概率趋于。"来描述.于是,人们不能不 问一句"究竟什么是概率?"再加上 Bertrand 奇论的出现,一些人对当时的概率论 中的一些概念和方法产生了怀疑.于是,人们不得不认真面对这种局面,探讨解决 的办法.而解决的办法只有一个,这就是完善概率论自身的理论基础.在 1900 年的 国际数学家大会上, Hilbert 提出的 20 世纪应解决的 23 个数学问题中,就把这个问 题列在其中不过, Hilbert 是把它列在数学物理问题类中的,在当时还没有人承认 概率论是一个数学分支,因为它还没有严密的数学理论基础. 概率论的严密的数学理论基础是在 20 世纪 30 年代奠定的,它应归功于 Kobnogorov 建立的公理化体系这种公理化体系的建立离不开集合论和测度论的发 展,也沟通了概率论与现代数学其他分支的联系.我们将在第 2 章中介绍 Kobnogorov 的公理化体系在这个公理化体系之下,所有的概率命题都得到了严 密的陈述,包括"频率接近于概率"的确切含义,这就使得人们可以广泛地利用这 一事实来解决许多问题. 现在就来介绍其中的一个应用 回顾例1. 5 .4中的抛针问题,在那里算得针与某条直线相交的概率为 P(E) = 21 πα .利用这一结果和"频率接近于概率"的事实,便可知道.只要抛掷的次数 n 充 分多,频率 fn(E) 就会充分地接近于概率 P(E) , 换言之,如果在 n 次抛掷中,针与 直线相交了 m n 次,那么当 n 充分太时,就会有 mn 21 n πα' .33. '1. 6 絮话概率论 即有 2nl π 同 mna 这就告诉我们,可以通过大量重复抛针,由上述公式算出 π 的近似值.这就开辟了 一条完成某些计算任务的途径这种方法被称为 Monte Carlo 方法.由于大量重 复试验可以通过计算机来模拟实现,所以 Monte Carlo 方法现今己获得了广泛的运 用,例如可以用它来计算一些原函数不易表出的定积分,等等. "频率接近于概率"表明了概率的客观存在,也表明概率可以通过试验来验证. 但这只是问题的一个方面.应当指出,并不是所有的概率都能通过试验来验证例 如,对某个危重病人存活时间的估计"存活 3 个月的可能性不超过 15%" 中的 15% , 就不是一个可用大量重复试验来加以验证的概率.这种估计来源于医生的医学知 识、医疗经验以及对病人病情的了解和趋势估计,多少带有主观色彩,所以有人把 这类概率称为主观概率. 最后,我们还想强调一句,"频率接近于概率"只有在样本量非常大的情况下才 有意义.如果只是截取试验数据中的一段,则其中的频率不仅可能不接近概率,甚 至可能差之甚远这一点非常值得初学概率论的读者注意. 有一位概率学家曾经做过一次试验·他给 200 个小孩每人都发一支铅笔、一张 纸,然后把他们分成两组,每组 100 人.他发给第一组中的每个小孩一枚均匀的硬 币,让他们每人都抛掷硬币 100 次,并要求他们依次记录抛掷结果:每抛出一次正 面,就在纸上写一个 1 ,每抛出一次反面,就写一个 O. 他没有给第二组的小孩发硬 币,而是要求他们都设想自己也抛掷一枚硬币 100 次,并且在觉得该抛出一次正面 时,就在纸上写一个 1 ,觉得该抛出一次反面时,就写上一个 O. 这 200 个小孩都认 真地做了,并且把记录都交了回来.你知道这位概率学家从他们的记录中发现了些 什么吗? 他发现了两组小孩交来的记录有着非常明显的差别·在第一组真正抛掷硬币的 小孩交来的记录中, 1 和 0 的交替不是那么频繁,都有着多个连着出现的 1 和多个 连着出现的。;相反,在假想抛掷硬币的小孩交来的记录中, 1 和 0 则交替得比较频 繁,几乎很少出现有 3 个连续的 1 或 0 ,更不用说 4 个或以上. 我们也请一些中学生朋友做了试验,下面是他们的一些试验结果. 安徽省铜陵市第一中学一位同学 2008 年 12 月 27 日实际抛掷 1∞次,抛掷结 果如下·正面 45 次,反面 55 次,具体记录为 0001111101 0000 11011100100110010100111001001000 、『咂d 、-v-' 5 4 11 0000 1111 001 0000000 111001100011101000101001000 1111010. 、、,...,、、,...,、-俨--'、、,..., 4 4 7 4 第 1 章预备知识 .34. 安徽省毫州市第一中学一位同学同一天实际抛掷 100 次,抛掷结果如下.正面 51 次,反面 49 次,具体记录为 0001010011100111001010∞ 10101001011111111000111010100100 -----..产-' 8 11100010011001001010101011000101010011110111 、、,..- 4 在前一位同学的记录中出现了 7 个连续的 0,在后一位同学的记录中出现了 8 个连续的 1 可以证明,抛掷的次数越多,其中可能出现的连贯的长度就越长频繁 交替的 1 和。不是实际抛掷的结果,而是假想抛掷硬币的小孩想象出来的结果,所 以不是随机现象的反映.真正的随机现象中的 1 和 0 的交替应当是无规律的,所以 反而会出现多个连续的相同符号那种两个 1 后面接着两个 0; 两个。后面又接着 两个 1 的情况,除恰不是随机性的反映,而是一种确定性的规律.你在乘汽车出行时, 有过连续多次遭遇红灯的经历吗?你在与同伴打扑克娱乐时,有过连续输牌、走霉 运的经历吗?不知你想过没有:这仅仅只是你的打牌技术不佳,或是你的运气不好 吗?是否还有着某种客观规律在起作用? 以上的絮话显得有些零乱,希望能有助于太家对概率论的了解 第 2 章初等概率论 2.1 概率论的公理化体系 20 世纪 30 年代所建立的 Kolmogorov 公理化体系为概率论奠定了严密的数学 理论基础,使得概率论成为一门公认的数学学科公理化将概率概念从频率解释的 束缚下解放了出来,却又使得概率的概念随时可以从形式系统回到现实世界中去, 大大拓宽了概率论的应用领域 Kolmogorov 公理化体系是建立在集合论和测度论的基础上的.从测度论的观 点来看,概率论的公理化体系并不神秘,其实就是用测度论的理论来解释概率理论 罢了如果学过了实变函数论,接受起来就比较容易.如果没有学过实变函数论,只 要认真加以体验,也是可以接受的. 2. 1. 1 什么是随机事件 从第 1 章中已经知道,随机事件是样本空间的子集,是随机试验中可能出现也 可能不出现的一类结果的集合我们研究随机事件,是为了知道它发生的可能性的 大小,即概率.换句话说,如果以 A 表示随机事件,我们的目的之一就是要能够算 出 P(A). 在第 1 章中,我们讨论过两类概率模型. 古典概型比较简单,只要分别算出随机事件 A 和样本空间。中的样本点个数 IAI 和 Inl ,再比一比就可以了.由于在。中一共只有有限个样本点,所以对 Q 的任 何子集都可以求出其概率 在几何概型中,则是要用 A 和 Q 的 Lebesgue 测度 L(A) 和 L(n) 来比我们 曾经讲过,对于线段,它的 Lebesgue 测度就是长度;对于平面上或空间中规则的几 何图形,它的 Leb田:gue 测度就是面积或体积.所以在第 1 章中我们并没有遇到过 什么麻烦.但是,即使 Q 是平面上的一个规则的几何图形,它的子集也会是各种各 样的.有一些形状十分古怪的平面图形,它的面积是无法计算的.在测度论中叫做 Lebesgue 不可测集.甚至在实轴上也存在 Lebesgue 不可测集.如果把这些集合也 算作随机事件,那么它们的发生概率就无法算出来了.为了解决这个问题,我们就 只能把随机事件限定为 Q 中的一些可以算出其测度的子集 今后还要涉及许多更加复杂的概率模型,还缸匾到类似的情况所以我们要对 什么是随机事件作出一些规定 第 2 章初等概率论 .36. 2. 1. 2 事件 σ 域 既然在许多问题中不能把样本空间。的每一个子集都算作随机事件,我们就 要来讨论如何划定随机事件的范围换句话说,应该明确可以把 0 的哪些子集算作 随机事件.为此,要来建立一些准则,并且这些准则要少而精,以便于运用. 第一,把 Q 算作随机事件,称之为必然事件.因为它由一切可能的试验结果组 成,因此一定发生,即有 P(f!) = 1. 第二,如果出于研究的需要,要把 Q 的子集 E 算作事件,那么它的余集 E C 也 应该算作事件,因为它表示 E 不发生.由于可把 E 算作事件,说明 E 的发生概率 P(E) 是可以算出来的,这也就意味着 E 不发生的概率,即 P(E C ) 也是可以算出来 的所以 EC 也一定是事件 第三,如果 {En , n E JII} 是一列事件,那么 U En 表示它们中至少有一个发 生,所以 U En 也应该是事件. 如上三条规定都是非常合理的,现在把它们写下来. 把 Q 的可以作为随机事件的子集的全体记作~,用 EE~ 表示子集 E 是随 机事件当然 F 就是由。中的一些子集所构成的"子集类"我们已经提到的三条 规定是. (1) f! E~; (2) 如果 EE~,那么 ECE~; (3) 如果 {En , n E JII} c ~,那么 U EnE~. 现在的问题是是否只要上述三条规定就够了?学过实变函数论的读者容易 回答这个问题.因为从测度论中的观点来看,满足上述三条规定的子集类叫做 σ 域 或 σ 代数,它具有许多没有写出的性质.这些性质足以保证它能满足我们研究概率 的需要.没有学过实变函数论的读者,可以从下面的讨论中了解这些性质. 现在就来讨论在概率研究中有哪些需求,而满足上述三条规定的子集类 F 是 如何满足这些需求的 我们知道, 0 表示不可能事件,它应当在 F 中.不难看出,由上述规定可以推 出 0E~. 事实上,由 (1) 知f! E~,再由 (2) 即知 0= f!C E~. 如果 E"E2 是两个事件,那么 E, UE2 表示矶和 E2 中至少有一个发生,因 此 E, U E2 也应当是事件尽管上述三条没有明确写出这一点,但是可以从上述三 条规定中推出这一点来.事实上,由于矶,马是事件,所以它们都在 F 中.又由于 0E~,所以如果令 E3 =E4 =...= 白,那么由 (3) 即得 E, U E 2 = U En E~. 这 一结论也可对有限个事件且,… , Em 的并集 U En 成立.读者可以自己推导 2,1 概率论的公理化体系 , 37 , 在三条规定中没有涉及事件的交,但是事件的交表示这些事件同时发生,当然 也应该是事件.那么如何由上述三条规定推出这一点呢?设 {En , n E I\!}是一列事 件,即设 {En , n E I\!} c _ff;,首先,由 (2) 可知有 {E:; , n E I\!} c _ff;,其次,由 (3) 知有 U EAE F; 最后,再由 De Morgan 法则和 (2) 知 n En = (UE:;)" E _ff;这 就告诉我们,可列个事件的交集也属于 F 如果令 Em+l = Em+2 = ... = íl ,则可 推知有限个事件岛,… , Em 的交集属于_ff;, 最后,我们来看如何推出两个事件的差集属于_ff;,事实上,如果 E E2 是两个 事件,那么它们都属于 _ff;,于是 E~ E _ff;,从而且一马 = E, E~ E _ff;, " 这就说明,只要 F 满足了所列出的三条规定(即只要 F 是一个 σ 域),那么 在 F 中就包括了我们在通常意义上所说的所有随机事件因此,我们只要把 F 规 定为由。的一些子集所形成的一个 σ 域,并且只把_ff;中的成员叫做随机事件,就 足以保证我们研究概率的需要了通常,我们把这样的 σ 域 F 叫做事件 σ 域 为了便于今后运用,给出如下定义 定义 2. 1. 1 将样本空间。的一些子集所构成的类$叫做事件 σ 域,如果它 满足如下三条规定: (1) !1 E _ff;; (2) 只要 EE$, 就有 ECE$; (3) 只要 {En , n E I\!} c _ff;,就有 U En E _ff;, 同时也把上面的讨论结果写成定理的形式. 定理 2. 1. 1 设。为样本空间,如果 F 是其中的事件 σ 域,则一定有 1 ø E $; 0 2。如果 {En , n E I\!} c _ff;,那么 n En E _ff;; 3 0 如果 {En , n=1 , … , m}c _ff;, 那么 n En E _ff;且 U En E _ff;; 4 0 如果矶,马 E$,那么且-E2 E$ 2. 1. 3 关于事件。域的一些讨论 由于定义 2 ,1.1只是对事件 σ 域的构成作了一些原则性的规定,所以还需要进 一步明确它的含义.事实上,按照这些规定,我们可以在同一个样本空间。中构造 出许多不同的 σ 域来下面先看一些具体的事件 σ 域的例子. 易知, {!1, ø} 就是一个 σ 域,因为它满足定义 2 ,1.1中的三条规定.这是一个 平凡的 σ 域. 如果 d 是 Q 的所有子集的全体,那么 d 当然满足定义 2 ,1.1中的三条规定, 所以它是一个 σ 域.这是。中的一个最大的 σ 域(意即 Q 中的其他 σ 域全都包含 第 2 章初等概率论 .38. 在 d 中).例如,在古典概型中,就是这样选取 σ 域的. 一般地,如果_ff;,和_ff;,是。中的两个 σ 域,并且_ff;, c _ff;" 那么我们就说 多L 是 3汪的子 σ 域,并且说_ff;,比」码小,或者说_ff;,比」码粗糙,也可以说 J句 比筑大或细腻. 如果在随机试验中,只关心某一类现象是否发生,而属于这类现象的所有可 能结果构成样本空间。的一个非平凡子集 A, 那么就可以把我们的 σ 域取为 {n , ø , A , AC} (不难验证这是一个 σ 域).这是一个可以用来讨论此类现象发生与 否的最小的 σ 域 如果问题涉及两类现象,属于它们的所有可能结果构成样本空间。的两个非 平凡子集 A 和 B , 其中 A, B 互不包含,并且 B#AC , 那么可以用来讨论这两类现 象发生与否的最小的 σ 域是怎样的呢? 首先 , n, A 和 B 都应当属于 σ 域‘笋,其次 F 还应当包括由它们出发,作一切 可能的交、并和取余运算所得到的所有的集合 (n 的子集).于是首先通过取余运算, 得出 0 , AC , B C 属于 _ff;,然后对它们作交、并运算,得知 AB , ABc , ACB , AcBc , AUB , ACUB, AUBC , ACUBC 属于多,但是还不够,困为对这些子集还可以作取余和交、 并运算,于是又得到两个新的子集 ABUACBC 和 ABCUACB , 它们也应当属于$. 至此我们发现,再也不能通过作取余和交、并运算得出其他子集了所以我们已经 找到由。 , A 和 B 出发,作一切可能的交、并和取余运算所可能得到的所有的集合 仰的子集),从而可以用来讨论这两类现象发生与否的最小的 σ 域中一共包括 16 个事件,它们是 { n,白, A , A C, B , B C, AB , AB c , 血, ACBc, AUB , ACUBgAUBC , ruBC , ABurr , ABCUM) 通过这个例子,我们看到了 σ 域的具体内涵没有学过实变函数论的读者,可 以从这个例子中进一步了解 σ 域的性质.这个例子告诉我们,必须从给定的一些集 合出发,把"取余和交、并"运算一直进行下去,直到不能得到新的集合为止此时 所有的集合 (n 的子集)构成的集合类才是一个 σ 域.由于在这个例子中,最初给 出的集合只有有限个,所以我们只作了有限次"取余和交、并"运算便找到了所有 的结果.如果最初给出的集合有可列个,那么就必须作无限次取余、有限交、可列 交、有限并、可列并以及它们的混合运算才行 为了便于今后使用,给出如下定义. 定义 2. 1. 2 将对所给出的一些集合所作的各种(有限次或可列次)取余、取 交和取并运算以及它们的混合运算都称为 Borel 运算. 按照这一定义, σ 域就是在一切可能的 Borel 运算之下封闭的集合仰的子 概率论的公理化体系 2.1 .39. 集)类. 当然,还有一些找出 σ 域中所有成员的办法.例如,在刚才的例子中,如果注 意到如下四个集合 AB , ABc , AcB , ACBc 中任何两个不相交,并且它们的并集就是 n ,把这样的一组集合称为对 0 的一个分划那么只要对分划中的成员作一切可能 形式的取并运算,就可以方便地得到所有 16 个集合. 以上所说到的由 16 个事件构成的 σ 域,是从给定的。的两个子集 A 和 B 出 发,通过作 Borel 运算得到的,把这个 σ 域称为由 {A, B} 生成的 σ 域 一般地,如下定义. 定义 2. 1. 3 如果 d 是 0 的一个子集类,那么由 d 中的集合作一切可能的 Borel 运算所得到的 σ 域g;称为由 d生成的 σ 域,记作g; =σ (JI1'). 可以证明, σ (JI1') ;是包含子集类 d 的最小的 σ 域,并且它是包含子集类 d 的 所有 σ 域的交当然 σ 域的交还是 σ 域.学过实变函数论的读者可以自己推导出 这些结论. 现在来讨论实直线上的 σ 域 例 2. 1. 1 将 Q 视为实直线Jæ,令 a的= {(∞, X)IXE Jæ},功={怡, b) I ∞〈 α <b< ∞}, 证明 :σ(硝 )=σ(功). 解分别记筑 =σ(硝),几 =σ(.ø'2) 首先,对任何实数 X, 都有 (∞ , X)= U(x-n , x) , n=l 它是可列个有界开区间的并集,所以 (一吼叫 Eσ(码 )=s吨, VXEN , 即叫 C.豹,因此g;, =σ(硝) c $与. 反之,对任何实数 α 与 b, α < b, 都有 [α, b) = (∞ , b) - (∞, α) Eσ(硝) = g;" 以及 {← ðJα, α+~) Eσ(硝) = g;" 因此就有 (α , b)=[a, b) 一 {α}=(a, b)E σ(硝)=氛, 第 2 章初等概率论 .40. 即码 C~l ,因此几 =σ(码) C ~,. 综合上述两方面,即知 σ(硝 )=σ(码). 通过上述讨论知,在由硝= {(一∞, X)IXER} 所生成的 σ 域 σ(叫)中,包 括了所有的有界开区间和单点集,因此也就包括了所有的有界(开、闭、左开右闭、 左闭右开)区间由于实直线上的任一开集都是至多可列个有界开区间的并集,所 以在该 σ 域中,包括了所有的开集,而任一闭集都是开集的余集,所以在该 σ 域中, 包括了所有的闭集.由此可知,在该 σ 域中,包括了所有的白开集和闭集作一切可 能的 Borel 运算所得到的所有集合从集合论和测度论(即实变函数论)中我们知 道,由开集和闭集的类作一切可能的 Borel 运算得到的所有集合构成的 σ 域称为 Borel 域,所以 σ(硝)包含了 Borel 域.反之,由于叫= {(一∞ , X) I X E R} 是实直 线上开集类的一个子类,所以 σ(叫)亦必包含在 Borel 域中.综合这两方面,即知. σ(叫)就是 Borel 域.再结合例 2. 1. 1 ,就得到了实变函数论中的一个重要结论· 定理 2. 1.2 实直线上的如下三种 σ 域相同,都是一维 Borel 域 ~1: (1) 由全体有界开区间构成的类所生成的 σ 域; (2) 由子集类{(一∞, X)IXER} 所生成的 σ 域; (3) 由全体开集和闭集构成的类所生成的 σ 域. Borel 域~在概率论中有极重要的地位,一般将实直线上的 Borel 域记作 ~1. Borel 域~中的集合称为 Borel 可测集,简称为 Borel 集,我们用 BE~ 表示 B 是 Borel 集. 从实变函数论中知道,如果在空间。中给出了 σ 域~,那么 (11 , ~)就称为一 个可测空间 2. 1.4 什么是概率 在1.6 节中,我们曾经谈到频率 fn(A) 与概率 P(A) , 指出频率 fn(A) 随着 n 的增大越来越接近于概率 P(A) , 因此,表明概率 P(A) 的客观存在但是,为了解 释什么叫做"越来越接近飞却又不得不用概率 P(I 儿 (A) - P(A)I 注 ε) 随着 n 的增 大越来越小来加以描绘.于是,陷入了一个概念循环的怪圈 正是为了摆脱这个怪圃,人们才走上了公理化的道路 既然概率 P(A) 是一种客观存在,那么就可以直接从数学上给它一种描绘现 在就来看看应当如何描绘概率 假定。是一个样本空间,已经在它上面给出了一个事件 σ 域~,我们就有了 一个可测空间 (11 ,~).由于只把 σ 域 F 中的集合叫做事件,所以就只需要对其中 的集合(事件)定义概率既然概率是描述事件发生可能性的一个量,那么它应该满 足哪些要求呢?不难看出,如下三条要求是必须满足的. 首先,对任何事件 E, 都应该有 P(E) ;;. 0; 2.1 概率论的公理化体系 .41. 其次,应该有 P(!1) = 1 ,因为 Q 是必然事件; 最后,如果 {En , n E N} 是一列两两不交的事件,那么就应该有 P (Q, En) = 呈阳) 我们把这三条必须满足的要求分别叫做非负性、规范性和可列可加性现在的 问题是.是否只要满足这三条要求就够了呢?我们说,够了学过实变函数论的读 者容易明白这一点,因为从测度论的观点看来,满足这三条要求的 P 就是定义在 σ 域 F 上的一个规范的测度为了使所有读者都能理解,下面来进行解释. 显然,在三条要求之下,每个事件 E 都对应了一个量。运 P(E) ζ 1.所以 P 是定义在 σ 域 F 上的取值于区间 [0 , 11 的一个集合函数(它的自变量是集合,即 EE$). 现在来看看这个集合函数 P 还有哪些性质. 为便于叙述,将原来的三条要求编个序号: 1。非负性. 2 0 规范性. 3 0 可列可加性. 它们都是集合函数 P 的性质我们要利用它们推出 P 的其他 8 条性质. 40 P(ø) = O. 因为如果取 E,= 马=… =0 ,那么自然有 EinEj = 0 , i 并 J, 因此 {En , n E N} 是一列两两不交的事件,故由性质 3。知 P(ø) =P (坠)=金山)=ZP(E), 显然这个等式只有在 P(的 =0 时才能成立 5。有限可加性.如果 {Ek , k=1 , 2 ,''', n} 是 n 个两两不交的事件,那么 P(坠)=主P(马) 事实上,只要在性质 3。中令 En+l = En+2 = … =ø 即可6 0 可减性. 如果 E, E$ ,马 E$ ,并且 E, ::J马,则有 P(E, 一马) = P(E,) - P(E2). 第 2 章初等概率论 .42. 因为此时 E, 马=马,而且 E2 UE, E~ =岛,所以由有限可加性知 P(E 7 0 单调性. ,) = , P(E E2) + P(E, E~) 如果 E, = P(E2) + P(E, E .ff:, E 2 E .ff:, 并且 E, ::J 马). E2 , 则有 P(E,) 注 P(马). 此由可减性立得. 80 P(EC ) = 1- P(E). 在性质 6。中令 E, = 11 , 9 加法定理(加法公式 ). 0 I n 、 E 2 = E RP得. 如果 {Ek , k=1 , 2 , … , n} 是任意 n 个事件,那么 n P( UEkl=LP(Ek )- L P(马马) + L P(EiEjEk) 飞k=l / k=l l~i<j ::S;; n l ::S;; i<j<k ::S;; n +…+ (_l)n-'p(E,马… En). (2. 1.1) 特别地,如果 n=2 , 则有 , ,) + P(马) - P(E U E 2) = P(E , P(E E 2). 下面用归纳法证明这个结论. 当 n=2 时,易知事件 E, E2' E, 巧, Ef马两两不交,并且 E, UE2 =E,马 U E, E~ U E, E2UE, E~ = 且 , EfE2' E, 马 UEfE2 =马, 所以 , , = {P(E ,E 2) + p(E,Em + {P(E, 马) + P(E~ E 2)} - P(E U E 2) = P(E E2) + P(E, E~) + P(Ef马) , P(E E2) = P(E,) +P(马) - P(E, E 2). 假设当 n=k 时结论成立,当 n=k+l 时,视 A= ( n EK + 再将 n=k 时的结论代入其中,整理后即知 n=k+l 时结论也成立. 、、BEEB ,,,, P 国 EK + 乌 +P k川U 飞t 、、 f'''t E2 、、E ‘·I·-''' 飞 f'''tt P KU 问 一一 Ej BEE-/ 、、 /,SEtt ‘飞 P MU抖 时的结论知 U Ej , B=Ek+1, 于是由 n=2 2.1 概率论的公理化体系 10。下连续性. .43. 如果 {En , n E N} 是上升的事件序列,即 En c En+l' n = 1 , 2 ,…,则有 P(创=且 P(En) = EnE~_l' n = 2 , 3 ,…,则事件 A" 心,…两两不交,且有 An =UEn 及 Em = U An , m = 1, 2," '.于是由性质 3。和性质 5。知 记 A,= 矶, U An P(坠)刊坠)=兰队)=Jdy(4) =JV(旦牛 11 0 上连续性如果 {En , n E N} 是下降的事件序列,即 En ::) En+l1 n = 1 , 2 ,…,则有 P(坠)=且 P(ι) 由于此时 {E~ , n E N} 是上升的事件序列,故可由下连续性和 De Morgan 法 则得知上连续性 12。次可加性 如果 {En , nEN} 是一列事件,则有 P(坠)毛 P(ι) 先由加法定理和归纳法,证得关于有限个事件的次可加性. P(的毛 P(ι) 再令 m →∞并根据下连续性即得性质 12 0 • 这样一来,便由最初所规定的三条性质推出了作为"概率"所应该具有的所有 其他性质.所以,最初所规定的三条性质是"概率"的最基本的性质.因此可以写 成定义的形式. 定义 2. 1.4 设有可测空间 (11 , ~),称定义在 F 上的集合函数 P 为概率测 度,如果它具有如下三条性质· 1 0 非负性,即对任何事件 E , 都有 P(E) 注 0; 2。规范性,即 P(I1) = 1; 第 2 章初等概率论 .44. 3。可列可加性,即如果 {En , n E .N}是一列两两不交的事件,那么就有 P(坠)=呈阳) 并且还可以把如上的讨论结果写成定理 定理 2. 1.3 概率测度 P 具有上述性质 1 0 ~性质 12 0 • 我们把定义了概率测度 P 的可l\llJ空间 (n ,~)称为概率空间,记为 (n ,~, p). 2. 1. 5 概率空间的例子 为了帮助读者了解概率空间,下面给出概率空间的一些例子. 应当注意,任何概率空间都有三个要素:样本空间。,事件 σ 域 F 和定义在其 上的概率测度 P. 例 2. 1. 2 (Bernoulli 空间) 设。是一个样本空间 , A 是 0 的一个非空真子集, ~=仰 , Ø , A, AC} , P 为小于 1 的正数,记 q= 1-p, 令 P(A) = p , P(AC ) = q , p(n) = 1, P(ø) = 0 显然如此定义的集合函数 P 满足概率测度的性质 1 0 ~性质 30 ,从而 (n ,~, p) 就 是一个概率空间,称为 Bernoulli 空间. 在抛掷一枚硬币一次的试验中,取。={正面,反面}, A= {正面},如果硬币 为均匀的,则有片,如果硬币不均匀,则叫 例 2. 1.3 (有限概率空间) 设样本空间。 ={ω1 , ω'2 , ... ,均}为有限集,取事 件 σ 域 F 为 Q 的所有子集所构成的类(~中共有?个子集).设 Pt , P2 , 为 n 个非负实数,有 P1 +1'2 +… +Pn= 1 ... , Pn 对 Q 的每一个子集 E , 令 P(E) = 艺岛 (2. 1. 2) 3'ω3εE 不难验证 P 满足概率测度的性质 1 0 ~性质 3。,所以 P 是一个概率测度,故 (n,~, p) 是一个概率空间,称为有限概率空间.特别地,如果对每个 {ω汁,都令 P({均})=;,那么 (n,灯)就是一个古典概率空间一般有限概率空间与古典概 率空间的区别就在于各个基本事件的概率未必相等. iJlJ 2. 1.4 (离散概率空间) 设样本空间。 ={ω1 , ω2γ.. }为可列集,取事件 σ 域 F 为 0 的所有子集所构成的类.设 Pt , 112 , …为一列非负实数 , P1+P2+ … =1 对 0 的每一个子集 E, 仍按式 (2. 1. 2) 定义 P(E) , 则可验证 P 是一个概率测度,于 是 (n ,~, p) 是一个概率空间,称为离散概率空间. 2.1 概率论的公理化体系 .45. 例如,可令。= {O , 1 , 2 ,…},即所有非负整数之集,并对某个 λ> 0 ,令 、n Pn =eλ 土., n=O , 1, 2 ,' n! 事实上,有 ∞、 n ζ Pn =eλ 三年 =eλ 卢 1 fflJ 2. 1. 5 (一维几何概率空间) 设样本空间。为实直线上的具有正 Lebesgue 测度的某个 Borel 集,取事件 σ 域多为 Q 的所有 Borel 子集所构成的类.对每个 E E <笋,令 P(E) = L(E) L( !1) , 其中 L(E) 和 L(!1)分别表示集合 E 与 Q 的 Lebesgue 测度.不难验证 P 是一个 概率测度,于是仰,.9', P) 是一个概率空间,此即一维儿何概型中的概率空间可以 类似定义 n 维儿何概率空间. 特别地,如果。为开区间 (0, 1) ,事件 σ 域.9'为区间 (0 , 1) 中的所有 Borel 子 集所构成的类,那么就可以将 P 取为 L ,即 Lebesgue 测度.这种概率空间将在后面 经常用到,称为 (0, 1) 区闭上的几何型概率空间. 习题 1 设 P(A) = P(B) = 1/2 ,证明 P(AB) 2.1 = P(A C B C ). 2. 设 α, b 为实数,我们用 aVb 表示 m皿怡, b}. 试证明:对任意两个事件 A 与 B , 都有 P(A) V P(B) " P(A U B) " 2[P (A) V P(B)]. 3 证明:对任意 n 个事件 A" … , An , 都有 P(自仕坠创 斗.) 注毛主町叩阳 A 川 A.k 4 设 A, 瓦 B, C 为事件,证明 + P(AC) + P(BC) P(AB) + P(AC) - P(BC) (1) P(AB) 注 P(A) (2) " P(A) + P(B) + P(C) - 1; 5. 证明:如果 All.B = Cll.D, 则 All.C = B ll. D. 6 证明 : P(AðB) = P(A) + P(B) - 2P(AB) 7 证明:对任何事件 A, B, C, 有 P(AðB) " P(AðC) 8 的并. 设 A" … , An 为任意 n 个事件, A=UA. + P(CðB) 试将 A 表示为 n 个互不相交的事件 第 2 章初等概率论 .46. 9 设 {An , n E ]\[}为事件序列,证明 P (1时 An)';;1时P(An), liryP(创刊 (litfZPA) 10 设 Al , A2!'" , An 为事件,证明 P(A. L1A 2L1... L1An) = 艺 P(A;) - 2 艺 P(A;.Aη) i=l 1~ 句 <i2 :S;;; n +4 L P(A; , A;, A;,) +... + (-2)n-'p(A.A 2 ... An). h,;;;il<归〈咱运饵 11 设 6 为 R 上的开集的全体,,,f 为其上有理顶点开区间全体.证明:1R中的 Borel 域 [J8 = σ ( ð') = σ V) 12 证明事件 σ 域中的事件数目,如果不是有限个,就一定有不可列无限多个. 2.2 利用概率性质解题的一些例子 利用概率测度的 12 条性质,可以解答更多的古典概型和几何概型问题. 我们已经知道,在古典概型中,样本空间。={屿,屿,…,均}为有限集,事 件 σ 域 F 为 Q 的所有子集所构成的类(.ff'中共有 T 个子集),对每个 {ω汁,都有 P({均})=; 下面将通过一些例题,说明概率问题解答方法的灵活多样性. 例 2.2.1 某人抛掷一枚均匀的硬币 2n+ 1 次,求他掷出的正面多于反面的 概率 且然这是一个古典概型问题,但是利用正面多于反面的事件 E 与其对立事件 C E 的对称性,却可以避免计算样本点个数 解 以 E 表示掷出的正面多于反面的事件,由于共抛掷奇数次,所以 EC 就是 掷出的反面多于正面的事件.由于硬币是均匀的,所以 P(E) = P(E C ) , 故有 2P(E) = P(E) + P(E = P(!1) = 1, C ) P(E) =~ 这种考察对立事件的解题办法是概率论中经常采用的再看两个例子. iJlJ 2.2.2 口袋中有 n-l 个自球和 1 个黑球,每次从中随机取出 1 个球,并 放入 1 个自球,如此共作 k 次操作试求第 k 次操作时取出的球是自球的概率 解 以 Ek 表示第 k 次操作时取出的球是自球的事件显然。就是 k 次取球 的所有可能的结果,易知 1 !1 1 = n k 但是 IEkl 不易直接求得,我们来考虑 EA 易知 EZ 表示第 k 次操作时取出的球是黑球的事件由于口袋中一共只有 1 个黑球,一 2.2 利用概率性质解题的一些例子 .47. 旦在某次被取出,放入的都是自球,于是后面再取时,就只能取出自球,所以欲 E~ 发生,必须前 k-1 次取的都是自球,只有第 k 次才取黑球,所以|巧 1 = (n_1)k-l , 从而 (n - 1)k-l P(E在)=面 1 飞 k-l 1 (, =ιl1- ~) P问) = 1- P(巧)=1-H1-~r-l 如下的例题需要对 n 分情况讨论 例 2.2.3 从 0 , 1 ,…, 9 这 10 个数码中不放回地任取 n 个,求这 n 个数的乘 积可以被 10 整除的概率 解 以 En 表示这 η 个数的乘积可以被 10 整除的事件,显然有 1';;n ζ10. 当 n=1 时,只取一个数码,当且仅当该数码是 0 时可以被 10 整除,所以 P阳)=↓ 当 n= 10 时,所有数码全被取出,它们的乘积一定可被 10 整除,所以 P(ElQ) = 1. 在其余情况下,以 ι 表示所取出的 n 个数码中有 0 的事件,用 Bn 表示 所取出的 n 个数码中没有 0 ,但是 n 个数的乘积可以被 10 整除的事件.显然有 AnBn =ø, An U Bn = E,饵,所以 P(En) = P(An) + P(Bn). 容易求得 P(An), :$实上 1111 = (~), IAn 牛 n ( 9 飞 町阳阳 ιω) = %手 飞 nl 下面来求 P(Bn). 当 6ζnζ9 时,所取出的 n 个数码中一定有偶数,当 Bn 发生时,该偶数不 是 0,因此, 5 一定要取出,乘积才可被 10 整除.除了 5 之外,其余 n-1 个数码可 在除了。和 5 之外的其余 8 个数码中饵,因此同|=(nLM ( I P(En) = P( An) + P(Bn) = 、n 9 飞( _I +I iJhncn 8 飞 _I i/ , 6ζnζ9. 第 2 章初等概率论 .48. -m 川 、、 1 『,J0000 一 /I1 、一 1l'/ 、 +-m9 一一 一一 nud。。一 /I1 \lj/一 一一 P Ene r''飞 E飞一 特别地,有 飞 当 2 运 "ζ5 时,若 Bn 发生,则 5 一定被取出,并且还至少取出了一个非。 偶数在 5 被取出的情况下,其余 n-1 个数全为奇数榈树仁护,所以 IBnl = (乙)-(二抖得 ( 9 飞( 8 飞( 4 飞 _ 1+1 _I 一 I _I l n-1J ' \n-1J 飞 n-1J I P(En) = P(An) + P(Bn) = 、/、 /m\/ 、 L, 2ζ n '" 5. 飞 nl 例 2.2.4 (无空盒问题) 将 m 个不同的小球等可能地放入 n 个不同的盒子, 阳 >n. 试求无空盒出现的概率. 解 将无空盒出现的事件记为 E. 易知。由一切可能的放法组成,有 Ifll = n= 但是 IEI 不易求得先来求 P(E C ). 以 A. 表示第 k 号盒子是空盒的事件 , k= 1 , 2 , … , n. 易知 EC= U A. k=l 下面来利用概率的加法公式计算 P(E C ) = P( U A. ).由于事件 Ajl … A;‘ 飞k=l / 表示第 jl , … 3 号盒子都是空的,所以该事件表示小球全部落到其余 n-i 个盒 子中.由等可能性的假设知 (n - i)= (, i 飞m P(A;l … A;,) = 丁「 =l1ιj 以此代入概率加法公式,即得 P 归 (Q/k) =(~) (l-~r - (;) (l-~r + -l t 2 - (n:1) =三问 (1- γr 2.2 利用概率性质解题的一些例子 .49. 所以无空盒出现的概率为 P(E) = 1 明=言(咐 (1- ~) 下面来看两个几何概型问题,它们都是抛针问题的继续. 我们已经知道,在几何概型中,样本空间。是某个具有 Leb四gue 正视j度的 Borel 集,事件 σ 域 F 为 Q 的所有 Borel 子集所构成的类.并且对每个 E E g>;, 都有 P(E) = 例 2.2.5 (抛针问题续) (E) L( !1) . 平面上画有一族问距为 α 的平行直线,向平面上随机 抛掷一个直径为 l 的半圆形塑料片,其中 l< α. 试求塑料片与直线相交的概率. 注意半圆形塑料片是一个包括边界在内的闭图形为便于计算其与直线相交 的概率,我们要运用一些技巧. 解 将原有的半圆形塑料片称为"甲片飞另取一个同样的半圆形塑料片,称 为"乙片"设想塑料片没有厚度,将它们拼成一个直径为 l 的圆现在向平面上抛 掷这个圆形塑料片. 分别以 A 和 B 表示"甲片"和"乙片"与直线相交的事件于是, AUB 表示圆 形塑料片与直线相交的事件,而 AB 表示"甲片"和"乙片"都与直线相交的事件, 注意到半圆是凸图形3 所以 AB 等价于两个"半圆"的公共直径(相当于一根长度为 l 的针)与直线相交的事件易知 P(A) = P(B), 由例1.5.4的计算知 P(且)=工, 下面求 P(AUB). 以 d 表示圆心JlJ直线的最近距离.易知有 -qA 、 、EtFEJ JU r『 nU ,,国 JU K飞 E 一 IJ tte、 EE AU B , a-2 飞, JU ζ K飞 E 一 、 IJ飞 IE nU 、l , 。 所以 JU _ L(A U B) _ l _ "l P(AUB) 一- L( !1) 由概率的加法公式知 P(A UB) = P(A) + P(B) 所以求得 P(A)= P P(剧 = (AUB)+P(AB) 。 2P(A) - P(AB) , (π + 2)l =32F· 第 2章 .50. 初等概率论 从这道题中我们看到概率加法公式的一种有趣的应用方式.这从一个方面告 诉我们·概率论的解题方法是灵活多变的,应当注意从解题过程中去积累经验. 这道题的结论中有一个值得注意的地方,即 P(A) 的分子恰好是半圆形塑料片 的周长而在抛针问题中,针与直线相交的概率中的分子 21 也可以看成针的周长. 那么在抛掷一般的图形时,是否也有类似的结论呢?答案是肯定的,对此我们不作 详细讨论了,读者可以通过考察一些特殊图形来观察之. 例 2.2.6 (抛针问题续) 在平面上画有一族问距为 α 的水平直线和一族间距 为 b 的垂直直线,向平面上随机地抛掷一根长度为 l 的针,试求针与直线相交的概 率,其中 I<min{α, b, α +b 一而丽E而} 解 以 E 表示针与某条直线相交的事件,再分别以 A 和 B 表示针与某条水 平直线相交及针与某条垂直直线相交的事件,于是就有针与直线相交的事件 E= AUB. 由例1. 5 .4的计算知 P(A) = 再来求出 P(AB) …, 21 _._. 21 P(B) = 而· 显然,事件 AB 表示针既与某条水平直线相交又与某条垂 直直线相交.以 p 和 6 分别表示针的中点与水平直线的最近距离和针与垂直直线 的最近距离,以 0 表示针与水平直线的夹角。而针与垂直直翩翩为~ 于是就有 。={(川的 10';;p 寸 , O ,;; ó ζ;, 040 寸}, 且={川 于是 L(Q)=;时, r! c面 9 r~ L(AB) = Jo 所以 dO Jo r! sin9 dó Jo , 2 dρ= ~ rg Jo , 2 sinOcosOdO = ~ _ L(剧_ 12 P(且)一一 L( !1) :n:ab' + P(B) - P(AB) 再由概率加法定理知 P(E) = P(A U B) = P(A) 21(α + b) _1 2 = 一一豆卢豆一一· -0) 2.2 利用概率性质解题的一些例子 .51. 抛针问题还可以作各种形式的推广,不再赘述.下面回到古典概型,讨论著名 的配对问题我们将会看到加法定理的直接运用 fJlJ 2.2.7 幢对问题)两副卡片,各有 n 张,均分别写有编号 1 , 2 ,'" , n. 现把 它们分别洗清后叠成两摞如果两摞中在相同的位置上的卡片的编号相同,则称为 出现"配对"试求至少出现 1 个配对的概率 解 由对称性不难看出,可以认为有一摞卡片是自上而下按号码递增顺序放 置的.因此只需考虑另一摞卡片的放置顺序.而此时第一摞卡片事实上只是起一个 位置编号的作用,因此只需考察一摞卡片中卡片的号码是否与位置的编号相同即 可从而原来的问题转化为一摞卡片中卡片的"对号放置"问题.以 Q 表示一摞卡 片的所有不同的放置顺序的集合,则有 1111 = n!. 以 A, 表示至少出现 1 个"对号放置"的事件那么 Aî 就是无"对号放置"出 现的事件.初看起来,似乎 IAîl 容易求出,但事实不然.因为 Aî 表示一摞中的所有 卡片都不"对号放置飞这种放法的种数并不容易求得. 我们还是直接考虑 A, 以 Bj 表示一摞卡片中的第 3 号卡片对号放置的事件,那么 A, 就表示一 摞中至少有一张卡片对号放置,故有 A, = U Bj. 我们要用概率的加法定理求 pC9,乌) 注意加法定理中的公式 (2. 1.1)表明需要对所有的正整数 m (1 运 m 运 n) 和 1ζj, <h < … <jm~n, 求出事件 n Bj, 的概率.该事件表示一摞中的第 1ζ Í1 <h< …< jmζn 号卡片分别"对号放置飞即分别放在第 1ζ Í1< j2<"'<jm 运"号位置上3 此时其余 n-m 张卡片可以在其余的 n-m 个位置 上任意放置,所以|旦 ι| 等于其余 n-m 张卡片的所有不同的放法数目,即有 lbJ=(n-m队而知 p (nRì = (n-m)! 1μ") n! 这样一来,由概率的加法定理即可求得 町A,)=P 小)=主 (_l)m-' (:)甲 =主问m-'丰 =1 一;+;一+问 1; 第 2 章初等概率论 .52. 并且还可知道 n 张卡片都没有"对号放置"的概率为 P(Ai)=1P(Ah;;++( 忖 下面两个例题是配对问题的继续和应用 fJIJ 2.2.8 (配对问题续) 要给 n 个单位发会议通知,由两个人分别在通知上写 单位名称和信封如果写完之后,随机地把通知装入信封试求下述各事件的概率· (1) 恰有 k 份通知装对信封; (2) 至少有 m 份通知装对信封. 解 用 Ek 表示恰有 k 份通知装对信封的事件,用 Am 表示至少有 m 份通知 装对信封的事件在例 2.2.7 中我们已经求出 A, 的概率 在事件 Ek 发生时,有 k 份通知对号放置,其余 n-k 份通知均不对号放置(全 都装错信封) 为求出 P(Ek) , 以 Dk 表示某给定的 n-k 份通知均不对号放置的事件.由于装 对信封的 k 份通知有。)种选法,所以若能求得 IDkl, .llII么就有 IEkl = (~) IDkl 所以需要求出 ID.I 但是 IDkl 不易直接求得,所以先从 P(D k ) 看起 . D. 表示某给定的 n-k 份通 知均不对号放置的事件,所以 Dk 不涉及其余 k 份通知,而只需考虑这给定的 n-k 份通知,故可套用例 2.2.7 中的计算结果,知 n-k 份通知都没有"对号放置"的概 率为 (DK)=LI+··+(一。n-k 1 2! 3!' , \ ~J (n - k)! 另一方面,在只对这给定的 n-k 份通知进行考虑的情况下,可以按古典概型的计 算公式把 P(Dk) 表示为 P(D k ) = IDkl (n-k)!' 联立上述两式,即可得到 IDkl = (n - k)!P(Dk) ".1 k, 1 = (n 斗)!g 一斗 +...+(-1tl2! 3!' ' \ ~J (n-k)!J 这种计算 IDkl 的方法值得我们注意. 由于|马 I = (~) IDkl , ØT以 (~)IDkl / 、 r 、 IEkl \k) ,-" (nì (n - k)! [ 1 1 , J , \n-k 1 1 (EK)=ZF= 主l=l l{ 一+... + (_l) n-k J~_ • ,~" ~ 飞k) n! l2! 3!' , \ ~J (n-k)!J 古去-1个 2.2 利用概率性质解题的一些例子 .53. 有趣的是,如果在上讲机→川j可得极限概率为忐 U Ek , 且事件 Em , Em+l"" 最后,由于 Am = P(Am) = , En 两两不交,所以立知 L P(马)= k=m L 卢汇(一叫 =ZZ(-1)3JJi j=o '" k=m k=m 例 2.2.9 j=o '" 从一副去掉了大小王的扑克牌(共 52 张)中任意取出 13 张牌试 求其中恰有 k 对同花 K-Q 的概率. 解 以 Ak 表示取出的 13 张牌中恰有 k 对同花 K-Q 的事件.显然。就是从 附牌中任取咪牌的所有不同取法的集合,所以 101= G~) 当事件 A4 发生时, 4 对同花 K-Q 都被取出,于是只需从其余 52-8 =44(张) 牌中再任取 5 张牌,所以 IA.I = (功, 1l'/τ1''/ 、 钮 A ,、, -n4 。 0 飞 EO- 4Z r'2飞 '、-r'2 飞、 ' P A4 ) = 如果。运 kζ3,则当事件 Ak 发生时,除了有 k 对同花 K-Q 被取出外,还可能会有 j 种花色的单张 K 或单张 Q 被取出,其中 0ζjζ 4-k 用 Bj 表示有 j 种花色 的单张 K 或单张 Q 被取出的事件,那么就有 Ak C Ak=AkU 乌= U Bj. 这样一来,便知有 UAkBj. 易知上式右端的事件两两不交,所以由概率测度的性质 5。,即有限可加性知 4-k P(Ak) = 艺 P(Ak乌) j=O 下面来求 IAkBjl. 在事件 AkBj 发生时,有 k 对同花 K-Q 被取出,还有另外 j 种花 色的单张 K 或单张 Q 被取出,并且还要从其他点数的 44 张牌中取出 13-2k-j 张,所以 故由上面的公式即得 |呐 1 = (:)伫 ν (13-~k-j), 第 2 章初等概率论 .54. 卜FP问 )=~{:)e~ 乍 C3-~~-j) 出门泻 。 HZH k = 0 , 1, 2 , 3 上述结果中的因子 4! 4 种花色的牌分为成对取出 k!j!(4 - k - j)! 很有趣,它是把 .- .._, K-Q(有 k 种花色)、单张取出 K 或 Q(有 1 种花色)和既未取出 K 也未取出 Q(有 4-k-j 种花色)的三种类型的"多组组合"方式数目,而却是取出单张 K 或 Q 的取法数目, {唱。哇 i 则是其余 13-2k-j 张牌的脚数目 飞 l"-~ I< -JJ 我们讲述上述各例的目的是帮助读者熟悉概率的诸项性质.概率计算的方法 千变万化,需要针对具体问题具体考虑,不可能期望通过少数例题一撒而就,多思 多想才有办法. 习题 2.2 1 把一枚均匀的硬币连掷三次,求正好掷出两次国徽的概率 2 提纲中有 2坦个问题,某太学生掌握了其中的 20 个问题试求所考的 3 个问题恰好 都是该大学生己掌握了的问题的概率 3 两个射手对着靶子各射击一次与已知他们中的一人中靶的概率等于 0.6,而另一人中 靶的概率等于皿 7,求下列事件的概率 (1) 只有一个射手中靶; (2) 至少一个射手中靶; (3) 两 个射手都中靶; (4) 无论哪个射手都没有中靶; (5) 至少一个射手没有中靶 4. 将一枚均匀的假子投掷 n 次,求得到的最大点数为 5 的概率. 5. 从装有红、白、黑球各一个的袋中任意有放回地取球,直至 3 种颜色的球都取出过为 止试求取球坎数 (1) 大于 k; (2) 恰为 k 的概率 6 从一副 52 张(太小王除外)扑克牌中有放回地任取 n 张 (n;;' 4) , 求这 π 张中包含了 所有 4 种花色的牌的概率 7. 向画满间隔为 α 的平行直线的桌面上任意投放一个三角形.假定三角形的三条边长 1I, 12 1 13 均小于 a 求此三角形与某直线相交的概率 8 一次口试准备了 N 张考签每个考生从中任取一张用毕放回,求 n (n ;;. N) 个考生 考完后,考签全被用过的概率. 9. 用概率想收证明对任何自然数 α, A(α <A) , 都有 A α 唱 Aα(Aα )(A α1). . (A α)(A α1)...2.1 =1+-.-. +' .. ':... _,' +...+ 卒 A - l' (A - l)(A - 2) , '(A 一 l)(A - 2)'" (α+ 1)α 2.3 条件概率 .55. 10 盒中有从 1~5 编号的 5 个球,从中依次任意取出 3 个球,取出后不再放回求下列事 件的概率: (1) 依次出现编号为 1 , 4, 5 的球; (2) 所取出的球具有编号 1 , 4, 5,而与这些球被取 出的次序无关. 11. 在一个小布袋里装有从 1~ 1O编号的 10 块相同的积木,从中依次任意地摸出 3 块, 求依次出现编号为 1 , 2 , 3 的概率,如果换取的方法是 (1) 无放回; (2) 有放回. 12 投掷一枚均匀的假子,问需要掷多少次,才能保证不出现 6 点的概率小于 0.37 13 箱中有 n 个自球与 n 个黑球,把所有球从箱中成对地取出,并且取出的球不放回去, 试求所有球对中两球的颜色都不同的概率. 14 箱中有 α 个自球与 b 个黑球,甲、乙二人轮流去拿球,每人每次拿一个,甲先开始,每 次取出的球要放回去,游戏进行到他们中任一个人拿出自球为止,求下列事件的概率: (1) 甲先 拿出自球; (2) 乙先拿出自球. 15 两只箱子中装有小球,小球之间仅可凭借颜色区分,其中第一只箱子装有 5 个白球、 11 个黑球、 8 个红球;而第二只箱子中的相应数目分别为 10, 8, 6,从这两只箱子中任意地各取出 一个球来,求所得两球颜色相同的概率 16 一猎人朝着远去的目标射击 3 次,首次射击命中目标的概率等于 0.8,而后命中率逐 次减少 0.1 求下列各事件的概率 (1) 3 次都没有命中,但)至少一次命中; (3) 命中 2 次. 17. 某人做投圃搅戏,共拿了 6 个国去投,直至首次投中目标,或者圃用完为止,如果每次 投圈投中的概率都等于 0.7,求至少留有一个圃没有投出的概率. 18 有两种不同尺寸的待加工的零件,它们按尺寸分放成两堆加工者每加工完一个零件 后,都跟前面无关地以相同的概率到第一堆或第二堆中去取下一个待加工的零件,而加工后的 零件则按照尺寸分别放入两个容量为 r 的箱子(箱子一开始是空的),试求当发现轮到的零件 在箱子中放不下时,另一只箱子中有 m 个零件的概率. 19. 根据英国 1891 年的居民调查资料,统计学家发现:黑眼睛的父亲和黑眼睛的儿子 (AB) 占调查人口的 5%; 黑眼睛的父亲和浅色眼睛的儿子 (AB C ) 占调查人口的 7.9%; 法色 眼睛的父亲和黑眼睛的儿子 (ACB) 占调查人口的 8.9% ,浅色眼睛的父亲和浅色眼睛的儿子 (ACB C ) 占调查人口的 78.2% ,试描述父亲和儿子的眼睛的颜色之间的关系. 2.3 条件概率 我们已经知道,对倒可概率问题的讨论,都必须建立起一个概率空间仰,JI', P) , 并且是在 p(n) = 1 的前提下进行讨论.但是有时除了这个总前提之外,还会出现 附加前提.例如,抛掷一枚均匀的假子一次,己知掷出的点数为奇数,要求求出点数 大于 1 的概率,等等.那么此时"己知掷出的点数为奇数"就是一个附加前提,而且 所要求出的概率也会与没有这个附加前提时的概率值有所不同,这种概津就是我们 现在要来讨论的条件概率. 第 2 章初等概率论 .56. 2.3.1 条件概率的初等概念和乘法定理 先来解答刚才的问题 例 2.3.1 抛掷一枚均匀的假子一次,己知掷出的点数为奇数,试求点数大于 1 的概率. 解 记。 ={1 , 1·· ,的 , A={1 , 3 , 时 , B = {2 , 3 , 4, 5 , 6}. 现在的问题是:己 知事件 A 发生,要求事件 B 的发生概率为了与以往所讨论的概率有所区别,我们 将这个概率记作 P(BIA) , 称为在己知 A 发生的情况下 B 发生的条件概率. 既然事件 A 已经发生,所以所抛掷出的所有可能结果就一共只有 3 种,即 1 点、 3 点和 5 点 因此现在的所有可能结果的集合就是 A. 并且 B 发生就是 AB = {3 , 5} 发生,于是 一|姐| (BIA) 一= IAI ;; (2.3.1) 等式 (2.3.1) 中有一些值得我们注意的问题·如果我们回到原来的概率空间,即 仍然以 11 = {1 , 2 ,…,创作为所有可能结果的集合,那么易知 IABI 2 ~, .\ IAI 3 P(AB)== , P(A)== 1111 6' - \ " , 1111 于是 (2.3.1) 恰好就是 _ P(AB) 一 (BIA) 一一 P(A) (2.3.2) 我们再来看一个例子. 例 2.3.2 从分别写有号码 1 , 2 ,'" , 10 的 10 张卡片中随机抽取一张,己知抽 出的卡片的号码不小于 3,试求其号码为偶数的概率 解记。= {1 , 2,…, 10} , A = {3 , 4 ,'" ,1O}, B = {2 , 4 , 6 , 8,1O}.要来求 P(BIA). 利用 (2.3.1) 式的办法,可以得到 IABI (B|A)=== IAI 而若先求出 IAI 8 4 ~, A n \ IABI P ( A 1111 )== ( A- B1111 )= 10= 5', P • \"-' -= 10= 5' 再利用 (2.3.2) 式的办法,同样也得到 - P(且) P(BIA) 一- (A) - 上述两个例子及 (2.3.2) 式启发我们:可以以 P(AB) 与 P(A) 之比作为条件概 率 P(BIA) 的一般性定义 2.3 条件概率 定义 2.3.1 .57. 设 (11 ,~, P) 为概率空间 , AE~, BE~, 其中 P(A) > 0 ,则将 P(AB) (B|A)=(233) P(A) 称为在己知 A 发生的情况下 , B 发生的条件概率. 应当指出,条件概率也是定义在概率空间 (11 ,~, P) 上的概率测度,当然也满 足概率的 3 条基本性质,即·非负性、规范性和可列可加性现证如下. 定理 2.3.1 由式 (2.3功所定义的条件概率满足概率的非负性、规范性和可 列可加性 3 条基本性质. 证明 非负性和规范性显然,仅需证明可列可加性. 设 {Bn , n E I\I}是一列两两不交的事件 , A E~, P(A) >0,则 {ABn , n E I\I} 也是一列两两不交的事件,从而由概率的性质 3。即可列可加性知 Q, P(A如) =P( ABn) = 主 P(ABn) 在上式两端同时除以 P(A) , 由式 (2.3.3) 即得 P(剖 A)=~P问IA) 这就表明由式 (2.3.3) 所定义的条件概率也满足可列可加性. 这个定理表明由式 (2.3.3) 所定义的集函数 P(BIA) , B E ~,的确是可测空间 (11,多)上的一个概率测度困此条件概率具有概率测度的所有性质 10 ~性质 12 0 . 应当指出,在式 (2.3.3) 中我们要求 P(A) > 0 ,是为了保证分母不为 O. 在日常的应 用问题中,这一要求一般都能满足.在将来进一步学习高等概率论时,还将进一步 拓展条件概率的概念 可以将式 (2.3.3) 变形为 P(AB) = P(A)P(BIA) , (2.3 .4) 由事件 A 和 B 的地位的对称性,当然也应当有 P(AB) = P(B)P(AIB). (2.3.5) 这两个等式给出了计算两个事件同时发生的概率的公式,可以把它们推广到多个事 件的场合,得到如下的关于概率的乘法定理. .58. 第 2 章初等概率论 定理 2.3.2 (概率的乘法定理) cff 如果 P ( nA 飞k=l k ) J 设(l1, ff, P) 为概率空间, {鸟 , k = 1, 2,… , n} > 0 ,则有 P(坠) = P(A,)P(A2IA,)P(A3IA,A2) 叫A,A2 .. . An-l) 证明写 B= nA , A=A饵,由式 (2.3.5) 得 、、BBE ,,,, --- n , AK A Ilk -『= P ,,, EEt、、 AK 、飞,,,,/ P J'自 ',‘、、 AK 一一 nnH 、飞,,,,/ 、、 ''EBB P k 叫n 阳 k=l 阳) 再用归纳法即可. 定理 2.3.2 给出了计算多个事件同时发生的概率的公式,其中大量出现的因子 多为条件概率.因此,正确计算条件概率十分重要. 回顾例 2.3.1 和例 2.3.2 的解答过程,注意到可以有两种计算条件概率的方法. 一种是利用式 (2.3.3) ,这当然是一种原则性的方法还应注意由式 (2.3.1) 所反映 出的另一种方法.在按该式计算条件概率 P(BIA) 时,事件 A 是作为一切可能的结 果的集合出现的,换言之3 我们是把 A 作为样本空间看待的,并且是按计算无条件 概率的公式来计算条件概率的这是一种在改变了的样本空间之上计算条件概率 的方法,运用很广,经常显得非常方便,值得注意.下面再来看几个例子. 例 2.3.3 罐中放有 7 个自球和 3 个黑球,从中无放回地随机抽取 3 个球.己 知其中之一是黑球,试求其余两球都是白球的概率. 解 以 A 表示其中有一个球为黑球的事件,以 B 表示所取 3 个球为 1 黑 2 白的事件,要来计算条件概率 P(BIA) 以 Q 表示一切可能的选取结果的集合, 易知 1111 = (~), IBI = G) G) = 63 对于事件 A, 应当注意其含义.在这里,应当把"有一个球为黑球"理解为"至少有 一个球为黑球",而其对立事件 AC 则表示"所取 3 个球全是时,因此 WI=G) , 从而 IAI = (~) - G) =85 又注意到 BcA, 故有且 =B 现在可以求得 IAI 1111 85 ~( , n \ ~(n\ (lOì' P(AB) - \--- ( = P(B) - \- ( = (A)==7丁 , IBI = :;:: 1111 /:丁 (lO ì 2.3 条件概率 .59. 于是按照条件概率的定义,算得 P(AB) P(A) P(B|A)== 63 85 但是,我们也可以把 A 视为样本空间,按照式 (2.3.1) 直接算得 IBI IAI IABI P(B|A)=== IAI 63 85' 再来讨论结绳问题. 例 2.3.4 解 将 n 根短绳的 2n 个端头任意两两连接,求恰好连成 n 个圈的概率. 我们曾在例1.4.4中给出过本题的两个解答,现在利用概率的乘法定理给 出另一个解答.仍然以 0 表示所有不同连接结果的集合,设想把 2n 个端头排成一 行,然后规定将第 2k -1 个端头与第 2k 个端头相连接, k = 1 , 2 ,… , n 于是每一 种排法对应一种连接结果,从而 Ifll = (2n)!. 以 A 表示恰好连成 n 个圈的事件设 想己将 n 根短绳作了编号,以 Ak 表示第 k 号短绳被连成 1 个圆的事件,于是有 A= n Ak 当 A, 发生时, 1 号短绳被连成 1 个圈,这相当于有一个 k E {1 , 2 ,…,叶,使 得在 2n 个端头的排列中, 1 号短绳的两个端头排在第 2k-1 和第 2k 个位置上,所 以 IA, I = 2n(2n - 2)!. 因此 一 IA, I 一 (A,) 一一 Ifll 2n 一 1 下面来求 P(A2IA,), 即要在己知 1 号短绳被连成 1 个圈的情况下,求 2 号 短绳也被连成 1 个固的概率.既然 1 号短绳已经自成 1 个圃,我们就可以不考虑 它,只要对剩下的 n-1 根短绳讨论其中的头一号短绳被连成 1 个圈的问题就行 了就是说,只要在变化了的概率空间上按计算无条件概率的公式来计算条件概率 P(A2IA,) 就行了由于现在的情况与原来的情况完全类似,只不过总的绳数变为 何 1 根,故通过类比,即知 P(A2|A1)= 」=土 2(n -1) -1 2饥 -3' 同理可得 1 P(AkI A , A2 … AK1)== - 1)]- 1 2n - 2k + 1 nHH -n 飞 一+ A 、、 EE,,/ P /ll PA n川 (日 于是由概率乘法定理中的式 (2.3.6) 得到 , k= 孔 4 ,… 同 2[n 一 (k 第 2 章初等概率论 .60. 这个解法充分体现了利用变化了的概率空间计算条件概率的好处. 例 2.3.5 在计制中输入程序,让它自动完成如下操作在时刻;时,往 6 盒 中"放入标号为 1 ~ 10 的 10 个球,同时取出标号为 1 的球;在时刻l; 时,往 6 盒 中"放入标号为 11 ~ 20 的 10 个球,同时取出标号为 11 的球,如此下去,即在时刻 1- 去时,往骨"放入标号为毗-川 ~1叫时球,同时取出标号为 1O (n-1)+1 的球, n = 1 , 2 ,....不难看出,在时刻 1 时,"盒中"有无穷多个球. 如果将操作变为在时刻 1- 去时,往啦"放入标号为 10(n - 1) + 1 ~ 10n 的 10 个球,同时取出标号为 n 的球, n = 1 , 2 ,"',则不难证明,在时刻 1 时,"盒 子"变为空的如果现在再将操作变为在时刻 1 一二时,往企中"放入标号为 1O (n-1)+1~ lOn 的 10 个球,同时随机地从盒中取出一个球, n = 1 , 2 ,…,则可 证明,在时刻 1 时,"盒子"变为壁的概率等于1.试证之. 证明 以 E 表示在时刻 1 时"盒子"变空的事件,于是 EC 表示在时刻 1 时, "盒中"有球未被取出的事件.显然,为证 P(E) = 1 ,只需证明 P(E C ) = 0 以 Ak 表示在时刻tl1 时 k 号球仍在盒中未被取出的事件,于是 E C = U Ak. 由概率的性质 12 0 ,即次可加性知 P(ff) = P ( U Ak I ,;; LP(Ak) 飞k=l 所以为证 P(EC) = 0 ,只需证明 P(Ak) / k=l = 0, k = 1, 2,' 由于证法类似,仅以证明 P(A,) = 0 为例. 以取表示在时刻 1 一二时 1 号球未被取出的事件,易知有 A1=51 且注 m 意到 n m+l ( m Bn n B,毡,知~ n Bn ,m :J 、 = 1 , 2 ,…}是下降的事件序列,故由概率的 性质 10 0 ,即上连续性知 町A,) =P (的 =w!!虫。P 的l Bn) 下面先来求 P CÔ, Bn) 在时刻;时,盒中放入了标号为 1 ~ 10 的 10 个球,若 1 号球未被取出,则 B, 发生,此时只有 9 种取球方式,故知 2.3 条件概率 .61. P(B1)=3 若在时刻;时, 1 号球仍未被取出,则在 B, 发生的条件下还有 B2 发生,此时 盒中共放有 19 个球,故满足条件的取球方式只有 18 种由于面对的是变化了的概 率空间,所以按照求无条件概率方式求出的 B2 发生的概率即为"条件概率飞故有 P(B2|Bh2 一般地,若在时刻 1 去时, 1 号球仍未被取出,则在 B,B2 战 1 发生的条 件下还有 Bn 发生,此时"盒中"共放有 9(n-1)+10=9n+1 个球,满足条件的 取球方式只有如种,从而类似地有 , P(BnI B B2 … A1)=11. 9n+1 于是按照概率的乘法定理,得到 P (D, =主击I= 主 (1 一 9n~1) Ila-' 、、 E[- 所以由无穷乘积发散的判别准则,知 P(A ,) = 主 (1 认1) =0 同理可证 P(Ak) = 0, k = 2, 3,'" E E~ 土=∞ 9n+ 1 、、‘ ,,/ 由于 一 1 川 咱i , {lnif''t飞、、 门 m 气 EF pλυ 、一一 /''飞 't 一如 叩 1一叶 m 一一一 /ll--YM4 \ll//hr\ BLEE4 PIm lm --一一 P A =P 呛叫 B,.. . B n- ,) 叉川时, IJ 昨 于是就有 Bn) .62. 第 2 章初等概率论 综合上述,即知在时刻 1 时,"盒子"变空的概率等于1. 概率论中的许多问题都可以用罐中取球的模型来描述,例 2.3.3 是罐中取球的 最简单的例子.而下面的例题中出现的罐子模型则是所谓有后效的模型,可以用来 粗略描述流行病的传播规律. 例 2.3.6 (Polyá 罐子模型)罐中放有 α 个白球和 b 个黑球,每次从罐中随 机抽取一个球,并连同 c 个同色球一起放回罐中,如此反复进行.试证明:在前 n= 叫 +n. 次取球中,取出了叫个自球和 n. 个黑球的概率为 (n 飞 α(α +c)(α+ 2c)... (α+ 叫 c - c)b(b + c)(b + 2c)... (b+ 向 c- c) (α +b)(α + b+ c)(α + b + 2c)... (α +b+ 旧 -c) 飞叫} 证明 以 A 表示"在前 n = nl +n2 次取球中,取出了 n, 个自球和 n, 个黑 球"的事件再以 A. 表示在第 k 次取球时取出自球的事件,于是 AE 就是在第 k 次取球时取出黑球的事件采用逐个考虑被改变了的概率空间的方法,不难利用概 率的乘法定理求得 P(A, … AnlA~1+1' ..A~) α(α +c)(α +2c) … (α + n ,c - c)b(b + c)(b + 2c)... (b + n ,c - c) b + 2c)... (α + b +nc - c) (α +b)(α + b+ c)(α + 该概率是"在前 m 次取球中取出了自球,在接下来的时次取球中取出了黑球"的 事件的概率而事件 A 则是在"前 n 次取球中,有 m 次取出了自球,其余时次取 出了黑球"的事件.因此需要考虑"哪 n, 次取出了自球,哪 n. 次取出了黑球",共 有(:,)种不同的可能情况,各种情况所代表的事件互不眠,所以我们要求的概 率 P(A) 等于这(:,)个事件的概率之和对于每一种指定的情况,相逐个考虑 被改变了的概率空间的方法,都不难利用概率的乘法定理求得其概率为 α(α + c)(α +2c) … (α + , , n c - c)b(b + c)(b + 2c)... (b + n c - c) (α +b)(α + b+ c)(α +b+2c)...(α + b+nc - c) 即都与 P(A , .. .An, A~,+1 … A~) 相等,因此 P(A) 等于 P(A , . .. A n1 A~, +1 . .. A~) 的(:,)倍,即得阳 2.3.2 全概率公式 我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算问题,这时,要对它们进行分解,使 之成为一些较为容易计算的情况,以分别考虑,全概率公式就是一个解决诸如此类 复杂问题的有力武器先看一个例子 2.3 .63. 条件概率 9JJ 2.3.7 有两个罐子,在第一个罐中放有 7 个红球、 2 个自球和 3 个黑球, 在第二个罐中放有 5 个红球、 4 个自球和 3 个黑球.从第一个罐中随机取出 1 个 球放入第二个罐中,再从第二个罐中随机取出 1 个球来.试求从第二个罐中随机取 出的球为红球的概率 这是一个我们从未遇到过的问题,在这个问题当中,包含了两个相继进行的随 机试验,并且第二个随机试验的结果受到第一个试验之结果的影响.如果要建立样 本空间。'则。中的元素 ω 应当反映两个试验的结果,即应当有 ω=(ω(1) ,以2)) , 其中 ω(1) 表示由第一个罐子取往第二个罐子的球,而 ω(2) 表示由第二个罐中取出 的球.如果以 B 表示从第二个罐中随机取出的球为红球的事件,则 B 就是由所有 ω(2) 为红球的 ω 所构成的集合.无论是计算 IBI 还是直接计算 P(B) 都不很容易. 所以我们要换一个角度来考虑问题. 分别以 A 岛 , A3 表示由第一个罐子取往第二个罐子的球是红球、白球和黑 " 球的事件.显然这三个事件两两不交,并且它们之并就是 11. 因此有 B= 及 U Ak B k=l P(B) = 艺 P(Ak B ) = 艺 P(Ak)P(BIAk)' k=l k=l (2.3.7) 由于 A"A2 , A3 都是第一个试验的结果,所以为计算它们的概率,只需将样本空间 取为由所有 ω(1) 所形成的集合缸,并按古典概型计算之因此得 P(A ,) = 言, P(A2)=; , P(Ad=; 而为了计算 P(BIAk) , 则可在事件 Ak 已经发生,从而第二个罐子中的球的分布有 所变化的情况之下,逐个计算之以计算 P(BIA,) 为例由于 A, 发生,所以第二个 罐子中增加了一个畔,总球数变为阻,且有 6 红、 4 自、 3 黑,故得 P(B|AO=2 同理可以算得 P(B|A2)=P(B|Ad=; 将上述计算结果代入式 (2.3.7) ,即知 (B) = 1.... 12 13 +. ~6 1-<) 13 +. 4~ 1-<) 1-<) 13 = 67 156 1-f!.:L!' 这是一个从未用过的方法,在这个方法中,我们把一个较为复杂的概率计算问 题分解为一系列易于计算的步骤.为了总结这个方法,先来给出一个定义. 岛 " 是对样本空间。的一个分划,如果它们两两不交,且有 定义 2.3.2 设 A ,..., A叫倪是概率空间 (11 ,~, P) 中的一组事件,称它们 U Ak = 。 在必要时,可以把分划的概念推广到可列个事件(即 n 为∞)的情形 利用对样本空间。的分划,给出如下的概率计算公式 第 2 章初等概率论 .64. 定理 2.3.3 (全概率公式) 的一个分划,如果 P(Ak) > 0, k 设(!1,~, P) 为概率空间 , A tl 岛,… , An 是对。 = 1, 2," . , n, 则对任何 BE~, 都有 L P(B) = 汇 P(AkB) = P(Ak)P(BIA.) . k=l k=l (2.3.8) 在可列情形下,相应地有 P(B) = 艺 P(A.B) = 艺 P(A.)P(BIAk) k=l k=l 这个定理的证明不难,式 (2.3.7) 是其 n=3 时的特例,我们已在那里给出了证 明思路读者不难自己完成式 (2.3.8) 的证明 通过例 2.3.7 的解答过程,我们看到了全概率公式的威力.在使用全概率公式 时,应当注意正确选择。的分划 {A. , k= 1, 匀 , n}. 如果选择不当,则难以达到 简化计算的目的.下面来看一些例子. 例 2.3.8 某工厂的第一、二、三号车间生产同一产品,产量各占总产量的 1 ,!!,次品率分别为 1%, 1% 和 2%. 现从该厂产品中随机抽取一件,试求该产 3' 6 品是次品的概率 解 以 0 表示所有可能的抽取结果,以 B 表示取出的产品是次品的事件.问 题在于不知该产品是哪个车间生产的于是再分别以 A" 勾,均表示该产品是第 一、二、三号车间生产的事件.于是 A"A2 , A3 就是对 0 的一个分划,并且有 P(A1)=; , P(A2)=; , P(A)=; , P(BIA ,) = P(BIA2) = 1% , P(BIA3) = 2% , 将它们代入式 (2.3.8) ,即得 m= £P(AK)mA)=001(;+;)+002 卜。。时 下面的例子是智力测验中常被问及的 例 2.3.9 有三个罐子,各装有两个球,分别为两个白球、一白一黑和两个黑 球.任意取出一个罐子,摸出一球,发现是自球. (1) 求该罐中另一个球也是自球的 概率; (2) 把摸出的球放回罐中,再从该罐中随机摸出一球,求该球也是自球的概率. 解 用 Ak 表示第 k 次取球取出的是自球的事件, k = 1 , 2. 用 B"B2 和 B3 分别表示取球的罐子中装的球为两白、一自一黑和两黑的事件 2.3 条件概率 .65. 由全概率公式,知 二、 1 1 1 1 ~ 1 >:P(Bk)P(A ~ .1 , '--.1., IBk) = 3 -.+ 3~ . ~2 +' ~3 .0= - 2 P(A ,) = L..-/- -"'r 1-"'1 k=l 问题 (1) 无非是要求该自球是取自两自的罐子的概率,即求 P(B, IA,), 白条件 概率公式,得 (Bl|Al) _ P(A , B ,) _ P(B, )P(A, IB,) 一豆 p副司 (A ,) 2 I 2 豆 问题 (2) 比较复杂.它是要在同一个罐子中做两次有放回的取球,要求的是在 第一次取出的是自球的条件下,第二次取出的还是自球的条件概率,即求 P(A2IA,). 为此,先要用全概率公式求出 P(A, A2): , P(A A2) = 誓旦、 1_111~ 5 > : P(Bk)P(A,A2IBk ) = ~.1 + ~. ~ + ~. 0 = , t13343 -n' 再由条件概率的定义,知 P(A, A2) 画 P(A2|A1)== 于= P(A ,) 例 2.3.10 ~ 甲、乙二人抛掷一枚均匀的硬币,甲抛了 100 次3 乙抛了 101 次. 求乙抛出的正面次数比甲多的概率 解 先来考虑一个问题·如果甲和乙都抛掷这枚均匀的硬币 100 次,那么情形 会怎样?当然会有三种不同的可能结果.甲抛出的正面次数比乙多,乙抛出的正面 次数比甲多,甲乙抛出的正面次数一样多如果分别以 A" A 2 和 Ao 表示这三个 事件那么就有 P(Ao) + P(A ,) + P(A2) = 1 ,而由对称性,可知 P(A,) = P(A2). 现在来讨论问题本身.以 E 表示在我们的问题中,乙抛出的正面次数比甲多 的事件再以 B 表示乙第一次抛掷时抛出的是正面的事件,那么 B C 当然就是乙第 一次抛掷时抛出的是反面的事件.显然,如果 B 发生,那么乙只要在接下来的 100 次抛掷中,抛出的正面次数不比甲少,他所抛出的正面总次数就比甲多;而若 B C 发 生,则乙需要在接下来的 100 次抛掷中,抛出的正面次数比甲多.这就是说. P(EIB) = P( Ao) + P(A ,), P(EIBC) = P(A ,) = P(A2). 于是由全概率公式知 P(E) = P(B)P(EIB) + P(BC)P(EIB乍 ~(P(勾) + P(A ,) + P(勾)) = ~ 第 2 章初等概率论 .66. 读者应当注意,根据对称性,我们可以得出:乙抛出的反面比甲多的概率也是 ;而不是乙抛出的正面比甲少的概率等于;想一想,这是为什么? 我们来继续讨论 Polyá 罐子模型 例 2.3.11 (Polyá 罐子模型)罐中放有 α 个自球和 b 个黑球,每次从罐中随机 抽取一个球,并连同 c 个同色球一起放回罐中,如此反复进行.试证明.在第 n 次 取球时取出自球的概率为 证明 a a+o 以 Ak 表示在第 k 次取球时取出自球的事件,于是 A~ 就是在第 k 次 瞬时取出黑球的事件我们来对 n 作归纳显然有 P(A,) = 中假设 n= k - 1, k 注 2 时结论成立,要证结论对 n = k 也成立以 A, 和 Aî 作为对。 的一个分划.注意此时可将 P(AkI A,) 看成从原来放有 α+c 个白球和 b 个黑球 的罐中按规则取球,并且在第 k-1 次取球时取出自球的概率,因此由归纳假设知 叫咔元,同时 P(AkIAï) =中,于是由全概率低得 P(Ak) =P(A , )P(AkIA,) + P(AjJP(AkIA,) αα+c b a α =一-----~一=一 α +b a+b+c α +b α +b+c α +b 因此,结论对一切"成立 上面解答中对 0 的分划的选取方式值得注意这里易走的一条歧路是把 A k - , 和 Ak _ 1 作为对 0 的分划 在这种选取之下,难以利用归纳假设算出条件概率 P(AkIAk-') 和 P(AkIA~_ ,). 因为此时我们只知道罐中有 α + b+ (k-1)c 个球,而 难于知道其中的自球和黑球数目相反地,在 A, 和 Aî 发生的情况下,罐中的自球 和黑球数目则十分清楚.这个事实再次表明正确选取分划方式的重要性,当然还有 一个正确理解归纳假设的问题. 下面的例子会告诉我们,全概率公式是一件有力的工具,灵活地运用它往往会 给我们带来简洁有效的解法. 例 2.3.12 甲、乙二人进行某项体育比赛,每回合胜者得 1 分,败者不得分. 比赛进行到有一人比另外一个人多 2 分就终止,多 2 分者获胜.现知每回合甲胜的 概率为 p, 乙胜的概率为 1-p, 其中 O<p< 1. 试求甲最终获胜的概率. 解法 1(经典解法) 以 A 表示甲最终获胜的事件,甲只能在偶数个回合比赛后 获胜,以 A 2n 表示甲在 2n 个回合比赛后获胜的事件,则 P(A2n ) = (2p(1-p))n-'沪, "r nr 与 nr Z ∞ H "r 一一 P A Z ∞ H P A ∞汇叫 从而甲最终获胜的概率是 "r p-du "r 2.3 条件概率 .67. 解法 2(全概率公式) 以 A 表示甲最终获胜的事件,并记 P, = P(A). 考虑前 两个回合的战绩,分别以 B" 岛 , B3 表示甲二胜、一胜一败、二败的事件.则有 P(B ,) = 沪 , P(B2) = 2p(1 - p) , P(AIB ,) = 1, P(B3) = (1 _ p)2; P(AIB2 ) = P" P(AIB3) = O. 这是因为前两个回合一胜一败之后一切重新开始.于是由全概率公式得 P, = P(A) = LP(B,)P(AIB,) = p2 + 2p(1- p)凡 解得 P(A)=P1=? - 2p(1 - p)' 解法 3(随机游动) 考察质点在数轴整点上的随机游动.每一步由所在整点 x=n 以概率 p 向右移动到整点 x=n+1 , 以概率 1-p 向左移动到整点 x=n- 1. 质点由原点 x=O 出发,一旦到达 x=2 或 x= -2 便停止不动如果以 Pn 表示质 点由整点 x=n 出发,能够到达 x=2 的概率,则阳就是甲可取胜的概率.显然, P-2 = 0, p2 = 1 ,而由全概率公式,可得 (… P加 1 p , =PP2 + (1-p) Po =p+(1-p)Po, , p- = PPO + (1 - p)p-2 = PPO. 把后面两式代入第一式,得 Po= 呻+ (1- p)po) 解得 + (1- p)(酬 , po=p2+2p(1-p)肉, p2 po = 1- 丽王五)' 三种解法各有千秋.解法 1 经典,基于独立重复的 Bernoulli 试验解法 2 基 于全概率公式,简洁明了,特点鲜明解法 3 构思巧妙,是随机攒动模型的灵活应 用.在下一节中,我们还将进一步介绍随机游动模型,它们都离不开全概率公式. 例 2.3.13 包括甲、乙二人在内的 2 n 名乒乓球运动员参加一场淘汰赛,第 一轮将他们任意两两配对比赛,然后 2 n - 1 名胜者再任意两两配对进行第二轮比赛, 如此下去,直至第 n 轮决出一名冠军为止.假定每一名运动员在各轮比赛中胜负都 是等可能的求甲、乙二人在这场比赛中相遇的概率 第 2 章初等概率论 .68. 解 在参赛人数为 2 n 时,记甲、乙二人在这场比赛中相遇的概率为仇,并记 他们在第一轮比赛中就相遇的概率为 qn 下面来对 n 进行讨论. 如果 n= 1 ,则一共只有甲、乙两个人参加比赛,他们一定在第一轮相遇,所以 p , =q,=l. 如果 n=2 , 则有包括甲、乙二人在内的 4 个人参加比赛.分别以 A 和 B 记他 们在第一轮和第二轮比赛中相遇的事件于是有 P2 = P(A) + P(ACB) = P(A) + P(AC)P(BIAC) = 也+ (1 - q2)P(BIAC). 显然,甲、乙二人在第一轮相遇,当且仅当他们在第一轮中配为一对.采用无编号 分组模式考虑,知 4 个人两两配对的方式有 3 种,而甲、乙二人配为一对的配对方 式只有一种,所以 q2=; 如果甲、乙二人在第一轮中没有相遇,那么他们只有在 两人都战胜了对手进入第二轮比赛时才会相遇,并且由于此时第二轮中只有两个人 比赛,所以只要他们都能进入第二轮,那么一定相遇所以 P(B|AC)=: 这样一 来,便知 1 2 1 1 =q2+(1-q2)P(B|AC)=+=. 3 . 3 如上的结果,使我们有理由猜测:对一切 n, 都应当有 Pn= 丢工 1 . 现在用归纳法证明这个猜测.当 n = 1 和 n=2 时,结论已经成立.假设 P. = 乒,我们来看 n=k+1 的情形仍分别用 A 和 B 记甲、乙二人在第一轮 比赛和后续的比赛中相遇的事件.于是有 P.+1 = P(A) + P(ACB) = P(A) + P(AC)P(BIAC) = qk+1 + (1 - Qk+1)P(BIAC). 由于甲、乙二人在第一轮相遇,当且仅当他们在第一轮中配为一对.采用无编号分 组模式考虑,知 2k+1 个人两两配对的方式一共有 (2' +1 )! 22 ' (2')! 种,其中甲、乙二人配为一对的配对方式有 (2'+1 - 2)! 22 '-1 (2' - 1)! 2.3 .69. 条件概率 i-1 咱 。," ·施 十 一一 咱i 一) ·一内," +-1 向,"一t,飞, 。," +1 ·施 L 一一 n哇 u z 沪-M 种.将上述三式相除, RP得 -1 如果甲、乙二人在第一轮比赛中没有相遇,那么欲他们在后续的比赛中相遇,就必 须他们二人在第一轮比赛中双双战胜对芋,同其余铲 2 名胜者一道进入下一轮 k 比赛.而从这时开始便是 2 名运动员按照原来的比赛规则进行比赛.所以只要甲、 乙二人都能进入后续的比赛,那么他们在后续比赛中相遇的概率就是胁,所以有 P(B|AC)=;PK 于是结合归纳假设即知 Pk+1 =qk川 (1 如 1)P(BIA乍 qk+1 + (1 也+1);PK I = 1 、 'õ Pk + 飞(1 - 'õ4 Pk )qk+1 .t'1I: }'1Iõ;-rl. 1 = - n.-:'_ , 2k+l I + (1 飞 1 、 1 1 n.-:'_ , ) n.~; • = 2k . 2 k+ 1} 2 k+ 1 -1 - 所以结论在 n=k+1 时仍然成立. 综合上述知,甲、乙二人在比赛中相遇的概率为如=去 在上述解答中,我们都是以 A 和 A<(即甲、乙二人是否在第一轮相遇)作为对 。的分划.这种对分划的选取方式不仅有利于处理 n=2 的情形,而且有利于运用 归纳假设进行过渡. 下面来介绍医学中的一个著名的问题.先看问题. 例 2.3.14 有两种治疗肾结石的方案在接受方案 1 治疗的患者中,小结石患 者占 25% ,大结石患者占 75% ,小结石患者的治愈率是 93% ,大结石患者的治愈率 是 73%. 在接受方案 2 治疗的患者中,小结石患者占 77% ,大结石患者占 23% ,小 结石患者的治愈率是 87% ,大结石患者的治愈率是 69% 我们发现,不管是对小结 石患者,还是大结石患者,方案 1 的治愈率都要高于方案 2 ,那么我们能就此判断 方案 1 优于方案 2 吗? 解 我们来计算一下两种方案的治愈率,再下结论.以 A 表示患者是小结石 患者的事件,以 B 表示被治愈的事件.根据全概率公式,对于方案 1 ,有 P(B) = P(A)P(BIA) + P(AC)P(B jA") = 0.25.0.93 + 0.75.0.73 = 0.78. 对于方案 2 ,有 P(B) = P(A)P(BIA) + P(AC)P(BIAC) = 0.77.0.87 + 0.23.0.69 臼 方案 2 的治愈率高于方案 1 ,可见方案 1 并不优于方案 2 0.83 .70. 第 2 章初等概率论 这类问题在统计界被称为 Simpson 悖论它告诉我们,光凭直觉是难以作出判 断的.事实上,尽管我们所看到的统计数据是真实的,但是它们只是对各个方案分 门别类地统计出来的数据.我们所看到的治愈率都只是些条件概率、是在己知患者 的疾病类型的情况下,统计出来的治愈率.一旦加入了不同疾病人数所占的比例,就 排除掉了这个因素所造成的影响,得到了不受疾病类型影响的全面的治愈率.从这 个意义上去评价两种不同的治疗方案,我们获得了一种全新的视角.实际上从整体 上说,方案 2 较之方案 1 有更高的治愈率 下面的问题是概率论中的一类古老的问题. 例 2.3.15 甲盒中有球 5 红 1 黑,乙盒中有球 5 红 3 黑随机取出一个盒子, 从中无放回地相继取出两个球,试求在第一个球是红球的条件下,第二个球也是红 球的概率. 解 以 A 表示取出的是甲盒的事件,于是 AC 即为取出的是乙盒的事件.再分 别以 B 和 C 表示第一个球是红球与第二个球是红球的事件.我们要求的是条件概 率 P(Cl B) 由条件概率公式和全概率公式知 一 P(BC) _ P (A)P(BCIA) P(A)P(BIA) (CIB) 一一 P(B) + P(AC)P(BC jA") + P(Ac)P(BI A<) 154 1 5 4 豆 x 画×豆+豆 x 画×于 172 1 5 1 .5 -245 2 6' 2 8 在该例的计算中,分子与分母都用到了全概率公式. 2.3.3 Bay田公式 下面来进一步讨论例 2.3.8. 例 2.3.16 某工厂的第一、二、三号车间生产同一产品,产量各占总产量的 111 , .., "" ,次品率分别为 1% , 1% 和 2%. 现从该厂产品中随机抽取一件,发现是次 3' 6 品,试求它是一号车间生产的概率 解 以 B 表示该产品是次品的事件,再分别以 A"A2 ,Aa 表示该产品是第一、 二、三号车间生产的事件下面求条件概率 P(A, IB). 由于已在例 2.3.8 中求出 P(B) , Rl 0.0117,所以现在的问题并不复杂,有 , ,) P(A B) P(A )P(BIA 0.0l x 豆 P(A1|B)==EEO.427. (B) P(B) 0.0117 上面的问题及其解答具有一定的普遍性,如果结合例 2.3.8 中对 P(B) 的求法, 可以概述为如下的定理. 2.3 条件概率 .71. 定理 2.3.4 (Bay'国公式) 的一个分划,如果 P(Ak) 设(!1,~, P) 为概率空间 , {A > 0, k = A 2 ,…, A,.}是对。 " 1, 2," . , n, 则对任何 BE~, 只要 P(B) > 0 ,就 都有 P (Ak)P(BIAk) (AK|B)=n , k=1 , 1 …阻 (2.3.9) LP(Aj)P(BI勾) j=1 这个定理的证明也不难,只要将条件概率的定义与全概率公式结合运用即可. 下面来看运用 Bayes 公式解题的一些例子 例 2.3.17 甲、乙二人之间经常用耳mail (电子信件)相互联系,他们约定在 收到对方信件的当天即给回音(即回一个巴皿ail ).由于线路问题,每饥份巴皿ail 中会有 1 份不能在当天送达收件人.甲在某日发了 1 份耳mail 给乙,但未在当天 收到乙的回音.试求乙在当天收到了甲发给他的E-mail 的概率. 解 在这个问题中,包含有两个不确定的环节·一是甲发给乙的 E-mail 不一 定能在当天到达乙处;二是乙所回的 E-mail 不一定能在当天到达甲处.至于乙是 否回耳皿ail ,则完全取决于他是否收到了甲发来的耳mail,即在"收到"与"回" E-mail 之间完全是一种确定的关系 以 A 表示乙在当天收到了甲发给他的耳皿血l 的事件,以 B 表示甲在当天收 到了乙回给他的耳mail 的事件,下面求条件概率 P(AIB C ). 显然 A 和 AC 构成了一个对 Q 的分划由题中条件知 即)=芋, P(BCIA) 寸 , P(Bc jA") = 1 所以由 Bayes 公式知 n-l 1 P (A)P(BCIA) n- . ι P(AIBC) - P(A)P(BcIA) + P(Ac)P(Bc jA<) 一些二_l: .~+~.1 n n n n-l - 2n- 1' 有人说, Bay田公式是用来解决"己知结果,分析原因"问题的,这个说法很有 道理.在这个例题中,甲在当天没有收到乙回给他的耳mail (这是已经发生的事实, 即结果),那么他当然会想,究竟是什么原因呢?是乙没有收到他的耳皿ail 呢,还是 他没有收到乙回给他的耳mail 呢?通过计算条件概率 P(AIBC) 明白了:乙收到了 他的E-mail 的可能性为 P(A|BC)= n-l 2n-l < 1 ,换句话说,一大半可能是乙没有 . 2 收到他的耳皿ail,因此没有给他回耳皿ail. 例 2.3.18 某种疾病的患病率为 0.5% ,通过验血诊断该病的误诊率为 5%( 即 非患者中有 5% 的人验血结果为阳性,患者中有 5% 的人验血结果为阴性).现知某 人验血结果为阳性,试求他确患有此病的概率. 第 2 章初等概率论 .72. 解 以 A 表示患有此病的事件,以 B 表示验血结果为阳性的事件.我们要求 的是条件概率 P(AIB) P(A) = 自己知条件知 0.5% , P(BIA) = 95% , P(BIAC ) = 5%. 注意 A 和 AC 是对 Q 的一个分划,故由式 (2.3.9) 得 P (A)P(BIA) P(A|B)== P(A)P(BIA) + P(Ac)P(BIAc) 0.5% x 95% 0.5% x 95% + 99.5% x 5% 这个结果出人意料的小,其原因在于人群中该病的患病率很低,仅为 0.5% ,所 以尽管通过验血诊断该病的误诊率不算高,为 5% ,但与患病率相比己是 10 倍之多. 从而上式中的分母已经差不多是分子的 11 倍了这个事实告诉我们,当验血结果 为阳性时,确患有此病的概率并不一定就很大二因为患病的概率除了依赖于验血时 的准确率之外,还与人群中该病的患病率有关.这一点对于罕见病的诊断尤为重要, 在获知验血结果为阳性时,切切不要紧张h h阳公式虽然很简单,但是它却很有哲理意义.这个公式是以 18 世纪英国哲 学家 Bayes 冠名的, B即回本人并不专门研究概率统计,只不过是对统计问题感兴 趣而已.他生前没有发表这个公式,而是在他死后两年,由他的一个朋友整理遗物 时从他的笔记中发现后发表出来的我们可以这样来理解这个公式·假设某个过程 具有 A 1 , A2 )... , An 这样 n 个可能的前提(原因),而 {P(A k ) , k = 1 , 2 ,… , n} 是人 们对这 n 个可能前提(原因)的可能性大小的一种事前估计,称之为先验概率.当这 个过程清了一个结果 B 之后,人们便会通过条件概率 {P(AkIB) , k = 1, 2,'" ,n} 来对这 n 个可能前提的可能性大小作出一种新的认识,因此将这些条件概率称为 后验概率.而 Bayes 公式恰恰提供了一种计算后验概率的工具大家可以从上面的 E-mail 和疾病诊断的例子体会出这种思想,重要的是,后来从这种先验概率和后验 概率的毯念中发展出了一整套统计理论和方法,并形成了概率统计中的一个很大的 学派该学派为了表明自己的基本理念的最初来源,将自己称为 Bayes 学派 Bayes 学派对概率统计问题有自己的独特理解,在处理许多问题时有自己的独到之处,给 出了许多很好的统计方法,但也有一些观念上的难以自圆其说之处,主要焦点是对 先验概率的解释和处理上面,经常受到经典学派的批评和指责.尤其是他们在一无 所知的情况下,主张按照同等无知原则,赋予各个可能的成因以相同的概率.后来 有人为了取其之长避其之短,发展出所谓经验 B甸回方法在计算机广为普及的今 天,由于计算机强大的运算功能和快速的运算能力,人们获得信息的速度大大提高, B即回方法和经验 B同归s 方法的实用价值也随之大大提高大多数统计学者的做法 是以兼容并蓄的态度对待两个学派的理论和方法.更加值得指出的是,在人工智能 的研究和开发中,由于 Bayes 理论对于智能机棒人的深度学习具有重要的指导意 义, Bayes 统计受到了从未有过的青睐,迎来了前所未有的发展机遇J 2.3 条件概率 .73. 习题 2.3 1.假定生男孩或女孩是等可能的,在一个有 3 个孩子的家庭里,己知有男孩,求至少有一 个女孩的概率. 2. 掷两枚均匀的假子,已知两枚假子点数之和为 7,试用两种方法,求其中有一枚般子的 点数为 1 的概率. 3 掷 3 枚均匀的假子,已知掷出的点数各不相同,求至少有一个 6 点的概率 4 某人忘记了电话号码的最后一位数字,因而他随意拨号求他拨号不超过三次而接通所 需的电话号码的概率若己知最后一位数字是奇数,那么此概率是多少? 5 一学生接连参加同一课程的两次考试,第一次及格的概率为 p, 若第一次及格则第二次 及格的概率也切,若第一次不及格则第二次及格的概率为: (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得资格的概率. (2) 若己知第二次及格,求他第一次及格的概率. 6. 己知 P(A C ) = 0.3 , P(B) = 0.4, P(AB C ) = 0.5 ,求 P(BIAUB C ). 7 已知 P(A) = 1/4, P(BIA) = 1/3, P(AIB) = 1/2,求 P(AUB). 8 袋中有 2n-1 个自球和 2n 个黑球,现任意取出 n 个,发现它们是同色的,求同为黑色 的概率 9 将 3 个不同的球放入编号为 1 , 2 , 3, 4 的四个盒中,每球入各盒均为等可能.现知恰有 两个空盒,求有球的盒子的最小编号为 k 的概率 10 今有 10 个自球和 10 个黑球,要把它们分别装入两个箱子为了使得 中任取一球,所取之球为自球球"的概率达到最大,应当怎样往两个箱中放球?所能达到的概率 最大值是多少? 11 举例说明对于任意事件 A, B , C, 下列等式不一定成立 + P(AIG) = P(AIG) + P(AIC) = (1) P(AIG) 1; (2) 1; (3) P(A U BIG) = P(AIG) 但) + P(BIG); P(A n BIG) = P(AIG) . P(BIG) 试讨论使主列各试成立的条件, 12. (例 2.3 日的续)证明在第 k 次取得自球的条件下,在第 m 次取球时 (k 自球的条件概率等于 < m) 也取得 a+ 主一· a+b+c 13 将 4 个红球与 6 个自球混装在袋中,现任意地一一摸出,直至红球全摸出为止求恰 好摸 k 次为止的概率 14 袋中有 γ 个红球与 b 个黑球,现任取一球,添加 s 个同色的球一并放回再从袋中任 取出一球发现是红球,求第一次取出的球是黑球的概率 15 有三只箱子,第一只箱子中有 4 个黑球和 1 个红球,第二只箱子中有 5 个黑球和 2 个 虹球,第三只箱子中有 3 个黑球和 4 个红球现随机地取一只箱子,再从此箱子中随机取出一 球 (1) 试求这个球为红球的概率; (2) 己知取出的是黑球,求此球来自第二只箱子的概率. 第 2 章初等概率论 .74. 16 罐中装有 7 个自球和 3 个黑球,从中无放回地随机抽取 3 个球,己知其中之一为黑 球试求其余两球均为自球的概率 17 设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为 1/3,击伤的概率为 1/2,击不中的概率为 1/6 并设击伤两次也会导致淆水艇下沉求施放 4 枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率. 18. 罐中放有一个球,它为自为黑的概率相等.向罐中放入一个自球,再从中随机取出一 球,发现此球为自.试求罐中所剩之球也是自球的概津, 19 接连抛一枚均匀硬币,直至第一次出现两个相连的正面为止.求恰抛掷 n 次的概率. 20. 假设一架坠毁的飞机掉在三个可能区域中的任何一个是等可能的.如果飞机坠落在 区域 i (i = 1 , 2, 3) 中,则由于地理环境的影响,经过快速检查后发现其残骸的概率为向 (0 < 向< 1) 现快速检查区域 1 之后未发现残骸,求飞机坠落在区域 z 的条件概率. 21. n 对夫妇任站成一列,求丈夫全在其妻子后面(不一定相邻)的概率 Pn. 2 .4一些应用 本节介绍一些综合运用概率知识解题的例子和方法. 2.4.1 求概率的递推方法 全概率公式是概率论前期发展中的一个重要垦程碑,其意义和价值远远超出了 时间的局限它的要点是在 Q 中引入一个适当的分划,把概率条件化,以达到化难 为易的目的这就为利用递推方法解答概率问题提供了途径看一些例子 例 2.4.1 甲、乙二人轮流抛掷一枚均匀的假子.甲先掷,一直到掷出了 1 点, 交给乙掷,而到乙掷出了 1 点,再交给甲掷,并如此一直下去.试求第 n 次抛掷时 由甲掷的概率. 解 以 An 表示第 n 次抛掷时由甲掷的事件,记 Pn = P(An). 我们以 An-1 和 A:'.-1 作为对 0 的一个分划,易知 P An An = va-6 - p A Acn tiEO 于是由全概率公式得 Pn =P( An) = P( An -1)P(AnI A• 1) + P( A:'. -1)P(Anl A:'. -1) 5 1. 2 = ~Pn-1 Pn-1) = ;;Pn-1 6.... + ;:;'(16' ,..., 3'... 1 +6 经过整理,将上式化为易于递推的形式 qA-gd 'i-n ," n 一 pn - 1l'/ 、 一一 ," f'』1、、 'i-n pn q4 qd ' .75. 2 .4一些应用 反复利用该式,并注意 Pl = 1 ,即得(也可利用等比数列的道项公式等) Pn- ~= n D=~ Gr-' 1 • - , 1i-aq4 咱A n , 句," + 一 白,"一句。 饵 、飞,,,/ ti-qa 一一 "r /'''飞、 所以就有 Gr- , 再来讨论结绳问题. 例 2.4.2 解 将 n 根短绳的 2n 个端头任意两两连接,求恰好连成 n 个圈的概率 在f9iJ 1.4.4和例 2.3 .4中曾经讨论过本题,现在再利用全概率公式给出一 个解答以 An 表示 n 根短绳恰好连成 n 个圈的事件,记 Pn = P(An). 再以 B 表 示第 1 根短绳连成 1 个圈的事件,用 B 和 BC 作为对 0 的一个分划.于是由全概 率公式得 p倪 = P( An) = P(B)P(AnIB) + P(BC)P(AnIBC) 在例 2.3.4中已经求得 P(B) 」 .易见 P(AnIBC) = 0; 而 P(AnIB) 则是在己 2n-1' 知第 1 根短绳连成 1 个圈的条件下,其余 n-1 根短绳连成 n-1 个圈的概率,此 时第 1 根短绳已经与其余 n-1 根短绳无关,所以 P(A咽 IB) = P(An-l) = Pn-l , 代 入上式即可得到 Pn = 阳俨击队 1 , n= 川 反复利用该式,并注意 Pl = 1 ,即得 1 Pn 2.4.2 = (2n-币' n= 1, 2,… 秘书问题 秘书问题是概率论中的一个著名问题,它涉及统计试验中的所谓最佳停止时 间这类问题很多,在此仅以秘书问题为例. iJIJ 2.4.3 (秘书问题)某公司需招收秘书一名,共有 n 个人报名应聘.这些应 聘者的文化水平、业务素质、交际能力各不相同,公司希望从中挑选出最佳人选,要 对他们逐个面试.面试的当时就需对应聘者表态是否录用,一旦对某人表态不录用, 便不可反悔公司打算按照如下的策略行事:不录用前 k (1 运 k < n) 个面试者,自 第 k+1 个开始,只要发现某人比他前面的所有面试者都好,就录用他,否则就录用 最后一个.试对该公司的策略作概率分析. .76. 解 第 2章 初等概率论 一个关键的问题是如何确定 k. 以 A 表示最佳人选被录用的事件,以 Bj 表示最佳人选在面试顺序中排在第 j 个.则易知 (n - 1)! (B3)=j=ι' j = 1,'" ,n , 意即最佳人选出现在各个位置上的概率是相等的.以给定所在位置的序号作为条 件,有 P(A) = 艺 P(AI乌 )P(乌)=;ZP(A问) 当 1ζjζk 时,最佳人选位于前 k 个面试者之中,不会被录用,此时 P(AI 乌) = O. 当 k+1 运 j~n 时,最佳人选被录用,当且仅当,前 j-1 个面试者中的最佳者在 前 k 个人中,故 P(AI乌)=山由全概率公式知 k P(A) k~1 k = ι 艺汇 1ι L~~ 产正 j=k+l" j=k" 现在考虑可导函数 g(x) = 些 lnF , z 〉 0,有 g(z)=1hF Z I ,故有 内)=0 白 Z=: 既然 P(A) ~ g(k) , 故知若将 k 取为最靠近;的正整数时,可使 P(A) 达到最大, 由于 g("ì=~ 因 0.36788,该概率最大值与 n 无关.这表明即使对很大的风采用 飞 el e 所说的策略,也能有 0.36788 的概率录用到最佳人选. 2.4.3 直线上的随机游动 设想有一个质点在数轴的整点上运动,每次或向右移动距离 1 ,或向左移动距 离 1 ,向右移动的概率是 p, 0 <p< 1 , 向左移动的概率是 q=1-p 这称为直线上 的随机游动我们关心在给定起始位置的条件下,质点在做了 n 次移动之后(为方 便起见,称为时刻 n) 所到达的位置. 例 2.4.4 (无限制的随机游动) 设质点在直线上做随机游动.一开始质点位于 坐标原点 0 ,试求它在时~J n 到达坐标为 k 的点 K 的概率. 解 以 Ak 表示质点在时刻 n 到达坐标为 k 的点 K 的事件设质点在此期间 做了 α 次向右移动 , b 次向左移动,则在事件 Ak 发生时,有 α +b=n , α b= k. .77. 2 .4一些应用 由此解得 α= 宇由于 α 是正整数,所以只有在 n 驯的奇偶性相同时,才有 可能.所以 P(Ak) = , / n 、 Iln +k l p 斗生 q 气量 n 与 k 同奇偶, lO , n 与 k 异奇偶 ~飞 -2-)" .- -,,-, 我们曾在解答例1.3.9 时得到过类似的结论,不过在那里有 p=q=; ,可见 例1.3.9 是对随机游动模型的一个应用. 例 2.4.5 (两端带吸附壁的随机游动) 设质点在直线上做随机游动一开始质 点位于坐标为 k 的点 K, O<k<m. 如果它在某一时刻移动到了坐标原点。或坐 标为 m 的点 M , 便停住不动我们将这两个点称为吸附壁试分别求它被坐标原 点。和点 M 吸住的概率. 解 以 Ak 表示质点由坐标为 k 的点出发,被点 M 吸住的事件,则 Ak 就是 它从该点出发被坐标原点。吸住的事件再以 H 表示质点第 1 步向右移动距离 1 的事件,于是 H C 就是质点第 1 步向左移动距离 1 的事件.记 = P(Ak) , Pk qk = P(Ak) 以 H 和 HC 作为对 0 的一个分划,由全概率公式得 Pk = P(Ak) = P(H)P(AkIH) + P(HC)P(AkIHC) , 注意到 P(AkIH) = P(A k+')' P(AkIHC) = P(A k - ,), 所以上式就是 Pk = p' Pk+ l + q. Pk-l , k = 1, 2,… , m-l 整理之后,得 PK+1-PK=; 肌一 Pk-ι k= 明 如果 p=q=; ,则上式表明协 -Pk-l , k =山 ,m- 1. (2 .4 .1) , m- 忡成等差数列 结合边界条件 PO =0 , Pm = 1 ,即得 Pk = 芝, m k = 0 , 1, 2 , . . . , m. 如果 pojq, 则反复利用 (2 .4.1) 式,并注意向 =0 ,可以导出 k = (~r Pl , k = 川, ... , m - 1. (2 .4.2) 第 2 章初等概率论 .78. 将上式对 k = 0, 1 , 2 ,… , m-l 求和,并利用 Pm = 1 ,得到 1={言 (971=Jb 再将 (2.4.2) 式对 k = 0 , 1,'" , j 求和,并利用上式,即得 j = 0, 1, 2,' .. , m 综合上述,我们得知·对 k = 0 , 1 , 2 ,… , m, 有 I , d-- k 、飞,,J, 一、、,』,, 一 ,,,,、、 7'1' 飞飞 Pk = -qp vqp 一 WI--k-m p=q= 1 豆' pojq. 类似可以算得:对 k=O, 1 , 2 ,'" , m, 有 1k1 q-P 万 lf 、飞,, /, -mw -7''tt‘、、 』 /1、v 一t 、盯 一- nuz-nr-1 1l'/-y 、、 -m qk = r'1飞 '、 一… , m , p=q= 豆' p 并 q. 从上述计算结果可以看出一个有趣的结论:对 k=O, 1 , 2 ,'" , m , 都有 Pk+qk=l 这告诉我们,在两端带有吸附壁的随机游动中,不论质点从什么位置出发,都终究 会被吸附壁所吸附,从而运动或迟或早会结束. 例 2.4.6 (翩翩的应用)设舶植线上做随机游动, p=q=; 一开始 质点位于坐标原点 0 ,试求它在时刻 2n 到达坐标为劫 , O<k<n 的点,并且在游 动过程中没有返回过坐标原点。的概率 解 本题适用于古典概型.在平面上建立直角坐标系,以 X 轴表示时刻,以 Y 轴表示质点所在位置于是质点的每一种可能的运动情况对应平面上的一条折 .79. 2 .4一些应用 线(称为路径),折线上的每一段都是一条斜率为 1 或 。就是所有路径的集合,故 1111 = 2 2n . 1 的线段于是样本空间 以 Eok 表示质点在时刻 2n 到达坐标为 劫 , O<k<n 的点,并且在游动过程中没有返回过坐标原点 0 的事件,于是 E2k 由所有满足如下条件的路径组成:这些路径起于点 (0 , 0) ,终于点(拙, 2时,并且与 x 轴没有交点 为了求出|马川,以 A2 k 表示质点在时刻 2n 到达坐标为纸 , O<k<n 的点的 事件,以 B2 k 表示质点在时刻 2n 到达坐标为 2k , 0<k <n 的点,并且在游动过程 中返回过坐标原点。的事件于是 IE:耻 I=IA础|一 IB且 1. 由例 2 .4.4的解答过程知,在事件 A2k 发生时,质点做了 n+k 次向右移动,做了 n-k 次向左移动,所以 IA 勾扭 2耻 k叶 事件 B 马2k 中的路径都与 x 轴有交点,但是可以分为两类·第一类是质点第一步向 左移动,这种路径必经过点 (1 ,一 1); 第二类是质点第一步向右移动,但是路径与 X 轴有交点,这种路径经过点 (1 , 1) 我们来观察任意一条第二类路径,以 D 表示它 与 x 轴的第一个(坐标最小的)交点,把路径上位于原点 0 和点 D 之间的部分作 关于 X 轴的镜面反射,那么它就变为一条经过点 (1 , -1) 的第一类路径.反之,如 果把任意一条第一类路径上位于原点。和它同 x 轴的第一个交点之间的部分作 关于 X 轴的镜面反射,那么它就变为一条经过点 (1 , 1) 的第二类路径.不难证明, 这种对应是一一对应,所以两类路径的数目相等易知,第一类路径的数目等于起 于点 (1 ,一 1) 、终于点(拙, 2灼的折线的数目如果以 α 表示这类折线上斜率为 1 的线段的数目,以 b 表示这类折线上斜率为 α +b=2n-1 , α 1 的线段的数目,那么就有 b=2k+1. 因此 α =n+k, 从而知 B 2k l = 2(口) 这样一来,便得 |马kl = 1 扭 1-1刷=(儿) -2(~;:) = (土乙) - (~;:) 阳 n+k-1;;' 午,所以(土乙)>(~;:).) 第 2 章初等概率论 .80. 于是就清 f IE2k l 2抽一 1 f2n 飞 飞n+k-1) P(E2k)== 、 J" 1111 -1 飞 飞/ 、 L , k= 1, 2 , … , n. 以上所用的关于 X 轴的镜面反射称为"反射原理",是计算路径条数的一种有 效办法 本题中所得的结论反映了随机游动的一个重要性质,如果利用对称性j 并结合 例 2 .4.4中的结论,我们可以总结如下· 设质点在直线上做随机游动, p=q=; 一开始质点位于坐标原点。, 表示它在时刻 n 到达坐标为 k, 0 < I,l.( pin ) Ikl 运"的点,并且在游动过程中没有返回过原 点 0 的概率.则有 p~n) k = r 11 n-1 \ In-1\\ ~俨 II n ~ Ikl -1) 一 l n ~ Ikl ) ), n 与 k 同奇偶, 一、 飞飞 n -.J.. I 飞 一-,- / / l~ n 与 k 异奇偶. 且然我们只是对 n 和 k 都是偶数的情形作了推导,但当它们都是奇数的情形 时,推导完全类似.现在可以利用这个结论解答概率论中的一个重要问题· 例 2.4.7 (无返回问题) 设质点在直线的整点上做无限制的随机游动 , p=q= ;开始时质点位于坐械制,试求它直到时刻tl n 为止,从未回到过坐械制 的概率. 解 以 A 表示质点直到时刻 n 为止,从未回到过坐标原点。的事件.那么在 A 发生时,质点在时刻 n 的位置 K 的坐标 k 必定满足条件 n+k 三 o (mod 2) , 0 < Iklζn 由刚才的结论知.当 n=2m 时,有 P(A) = 会贮)=会 2m((JTiJl)-(TJJ))=2hf 当 n=2m-1 时,有 P(A) =2 艺Pitt1)=2 圭22m+1((Jfi72)(J?二)) =严 2 .4一些应用 .81. 合并上述结果,可以写成 In -1 \ 叩)=2 飞 [~l ) 下面来看一个与路径问题有关的例子. 例 2.4.8 g(x) 设 G 是所有具有下述形式的逐段线性的函数 g(x) 的集合: g(O) = g(j) + 由'j(x - j) , j ζx ~ j +i, = 0, j = 0 , 1, 2,… ,n-l , 其中。'j = 1 或一 1 现知计算机中存有该集合中的所有函数.我们从中随机调取一 个函数,求随机事件 A 的概率,其中 A 表示所取出的函数 g(x) 属于如下子集: Go = {gl g(x) 在区间 (O , n] 中没有根}. 解 本题是例1.3.9 的继续.易知, G o 中的每一个函数都与质点随机激动的一 条与 x 轴没有交点的路径相对应,所以由上题的结果知 In -1 \ P(A) = 俨 U~l) 习题 2.4 1 三个罐子中都装有自球和黑球,它们中自球与黑球的数目之比为缸,阳和 P3. 随机地 (即以概率 1/3) 选取一个罐子,并从中取出一球试求该球为自球的概率 2. (续)随机地选取一个罐子,并从中取出一球,结果发现该球为自球.该球取自第一个罐 子的概率为多少? 3. 掷一枚不均匀的硬币 n 次,第 1 次抛出正面的概率为 C,此后每次掷出与前次相同结 果的概率为 P (0" P" 1) 求第 n 次抛出正面的概率,并讨论"→∞时的极限 4 两名射手依次向目标射击,每人每次射击一轮平均来说,射手甲在 10 次射击中可有 5 次命中目标,而射手乙则可有 8 次命中在射击开始前,他们以抛掷硬币方式来决定谁先开始 (即抛掷一枚均匀的硬币,若正面向上,则由甲开始,反面向上,则乙先开始).旁观者知道他们 的射击规则,但不知道具体谁在射击,设他看到了目标被击中试求该次目标被甲击中的概率. 5 罐中装有 N 个球,其中 M 个为自球,从中进行大小为 n 的抽样.以 Ak 表示第 k 个 取出的球为自球的事件,以 B~ 表示抽样中恰抽到 m 个自球的事件.证明在有放回和无放 回的两种场合下都有 P(AK|Bm)=2 6 第一个罐中装有 N, 个白球和 M, 个黑球,第二个罐中有 N, 个白球和 M, 个黑球自 第一个罐取出一球放入第二个罐中,搅拌均匀后再从第二个罐中取出一个球.试求该球为自球 的概率 第 2 章初等概率论 .82. 7 今有 n 个罐子,分别放有 N 个自球和 M 个黑球 自第一个罐子随机取出一球放入 第二罐,再自第二个罐子随机取出一球放入第三罐;如此等等,最后自第 n 罐中随机取出一球, 试求该球为自球的概率, 8 第一个罐中装有 N, 个自球和 M, 个黑球,第二个罐中有战个自球和 M2 个黑球. 自第一个罐中无放回地随机取出 m 个球,自第二个罐中无放回地随机取出时个球把所取 出的球全都放入空着的第三个罐子.最后自第三个罐子中随机取出一球,试求该球为自色的 概率. 9 甲、乙两袋各装有 1 个红球与 1 个黑球,每次从两袋中各任取 1 球交换后放回试求 经过 n 次交换后,甲袋中包含 2 个红球、 1 红 1 黑、 2 个黑球的概率队, qn , T n . 10. 30 个学生参加考试,其中有 5 个学生一贯优秀,有 10 个学生成绩较好,有 15 个学生 学业较差成绩一贯优秀的学生考试中总得"优秀飞成绩较好的学生以相等的概率考得"优 秀"和"良好";学业成绩较差的学生则以相等的概率考得"良知',"及格"和"不及格η. 随机 叫出一个学生,试求他的考试结果为: (1) "优秀"j (2) "良好"的概率. 11 有甲、乙两只口袋,甲袋中有 5 个自球和 2 个黑球,乙袋中有 4 个自球和 5 个黑球, 从甲袋中任取两球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球是自球的概率. 12 抛掷 3 枚假子试求 3 枚假子全部掷出 6 点的概率,如果已知 (1) 有一枚假子掷出 6 点; (2) 第一枚锻子掷出 6 点; (3) 有两枚假子掷出 6 点; (4) 至少有两枚锻子掷出同样的点 数; (5) 所有的假子掷出同样的点数;但)至少有一枚假子掷出 6 点 13. r 个人 (r> 1) 做传球捞戏,从某甲开始,每次持球者均等可能地传给其余 r-1 个人 中的任一个求下列事件的概率: (1) 传了 n 次,球一直没有回到甲手中; (2) 传了 n(n<r-1) 次,没有人接到过两次球(甲开始时持球算作已接球 1 次);但)第 n 次仍由甲传出. 14 有 3 个罐子,在第 3 个罐中放有吗个自球和 Mj 个黑球, j = 1 , 2, 3 随机选取一个 罐子,并从中无放回地抽取两个球,发现为一自一黑试求这两个球分别来自第一个、第二个、 第三个罐子的概率. 15 一个罐子原来放有 N 个自球和 M 个黑球,后遗失了一个球,但不知其颜色今从 该罐中无放回地随机取出 k 个球 (0 < k < N) , 发现它们都是自球.试求遗失之球为自球的 概率 16 袋中装有 m 枚正晶硬币、 n 枚次晶硬币(次品硬币的两面均印有国徽)在袋中任取 一枚,将它投掷 T 次,己知每次得到国徽问这枚硬币是正品的概率是多少? 17. (选票问题)在一次选举中,候选人 A 得到 n 张选票而候选人 B 得到 m 张选票,其 中 n>m, 假定选票的一切排咧次序是等可能的,证明:在计累过程中 , A 的票数始终领先的 概率为些丰些. n+m 18. (续)在选票问题中计算 A 不曾落后的的概率 19. 进行 2n 次独立试验,每次试验中成功的概率等于 p. 试求所有偶数号码的试验得到 成功,并且成功总数等于 n+m (0';; m';; n) 的概率 20. 考虑一个赌徒,他每次赌局中分别以概率 p 及 1-p 赢得一元或输掉一元.若赌徒开 始时有 n 元,试求: (1) 他输光之前恰好赌了 n+2i 局的概率; (2) 他的赌金在到达 O(输光)之 2.5 事件的独立性 .83. 前达到 N 元的概率 21.质点在正四面体 ABCD 的顶点上做随机游动,每一步都从所在顶点转移到其余三个 顶点之一上,转移的概率都是;开始时质点位于顶点 A 上以 Pn 表示棚"次移动之后, 质点在顶点 A 上的概率.写出阳的表达式,证明极限 lim pn 存在,并求该极限 2.5 事件的独立性 独立性是概率论中最重要的概念之一,在许多问题中,若无独立性的假设,便 很难得到解决.因此需要对独立性的概念有一个很好的了解.我们先在这里介绍事 件的独立性概念 2.5.1 两个事件的独立性 设 A 和 B 是同一概率空间 (11,$, P) 中的两个事件,一般来说, P(A) 与 P(AIB); P(B) 与 P(BIA) 是不同的为了明确这一点,先来看一个例子. 例 2.5.1 某班有 51 个同学,其中 30 男 21 女;班上有团员 17 人,其中 9 男 8 女.随机地从该班叫出 1 人,分别以 A 和 B 表示该人是男生和是团员的事件.试 求如下概率 : P(A) , P(B) , P(AIB) , P(BIA) 解 由题意有 1111 = 51 , IAI = 30 , IBI = 17 , IABI = 9 ,所以 30 10 P(A)== 51 17', _._, 17 1 _. '"_, 9 P(B)==P(A|B)= - ,-, 51 3' - ,--,-, 17', 在上述计算结果中有 P(A) 并 P(AIB) , P(B) # _._... 9 3 P(B|A)== - ,- ,.., 30 10 P(BIA) 这反映了在一般情 况下,无条件概率不等于条件概率但是也有例外,试看下例. 例 2.5.2 某班有 51 个同学,其中 30 男 21 女;班上有团员 17 人,其中 10 男 7 女.随机地从该班叫出 1 人,分别以 A 和 B 表示该人是男生和是团员的事件.试 求如下概率 : P(A) , P(B) , P(AIB) , P(BIA) 解 现在仍然有 1111 = 51 , IAI = 30 , IBI = 17 ,但是却有 IABI = 10 ,因此 30 10 P(A) = 玩=币 , _ . _, 17 1 P(B) = 51 =豆 , _. '" _, 10 P(AIB) = 币 , _ . _... 10 1 P(BIA) = 而=豆- 在上述计算结果中有 P 町(A 均) = 町 P (A 剧|罔 B) , 町 P (B) = 町 P (B 蚓IA 均)这是一个值得注意 的现象这种现象可以解释成事件 B 发生与否对事件 A 的发生概率没有影晌,事 件 A 是否发生对事件 B 的发生概率也没有影响,从而它们之间 率的乘法定理可知,如果 P(A) = P(AIB) , 那么就有 P(AB) = P(AIB)P(B) = P(A)P(B) 第 2 章初等概率论 .84. 而如果 P(AB) = P(A)P(B) , 那么由概率的乘法定理就又可算得 P(A) = P(AIB) , P(B) = P(BIA) . (2.5.1) 因此式 (2.5.1) 中的两个等式或同时不成立,或同时成立我们把上述现象归纳为 如下的定义. 定义 2.5.1 设 A 和 B 是同一概率空间 (n ,~, p) 中的两个事件,如果有 P(AB) = P(A)P(B) , (2.5.2) 则称事件 A 与事件 B 相互独立,简称为独立 如上所说 , A 与 B 相互独立,意味着A 发生与否对 B 的发生概率没有影响 , B 发生与否对 A 的发生概率也没有影晌 如果回过头来再看一看本节开头的两个例子,会有助于我们理解独立性的含 义在例 2.5.2 中,在男生和全班中,团员都占 3L 所以"是否为男生"对该生"是否 为团员"的可能性的大小没有影响.相反地,在例 2.5.1 中,男生中的团员比例小于 全班的团员比例,因此,在己知该生为男生的条件下,他是团员的条件概率 P(BIA) 自然会小于他是团员的无条件概率 A 了希望大家认真体会其中的道理 由独立性的定义容易推出下述结论. 定理 2.5.1 设 A 和 B 是同一概率空间 (n ,~, p) 中的两个事件,则当事件 A 与事件 B 相互独立时,如下各对事件之间也相互独立. (1) A 与 B C ; 证明 (2) AC 与 B; 注意到 P(A) = P(AB) (3) A C 与 B C + P(ABC) , 并由式 P(ABC) = P(A) - P(AB) (2.5.2) ,可得 P(A) - P(A)P(B) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(B C) , = 此即表明 A 与 BC 相互独立其他情况可类似证明 定义 2.5.1 是我们对于独立性所下的定义,也是判断两个事件是否独立的理论 依据.换言之,当要从理论上证明两个事件的独立性时,就必须通过证明式 (2.5.2) 来完成.并且只要该式成立,那么相应的两个事件就一定相互独立. 例 2.5.3 向区间归, 1) 中随机抛掷一个点,分别以 A, 和 A2 表示该点落在区 间 1-' 10,斗中和 I~ , ~ì 中的事件,试问事件 A, 与 A2 是否相互独立? 2} . . 14'41 . .., ~-- 解 这里适用于儿何概型易知 A,A2 = [~,~),故 PM)=; 而 P(A1)=P(A2)=; ,所以式 (2.5 州立,因此 A, 与 A2 相互独立 2.5 事件的独立性 .85. 应当注意,我们之所以说"这里适用于儿何概型飞是因为"点是向区间 [0 , 1) 中随机抛掷的"需要强调指出的是,在定义 2.5.1 中,事件的独立性是与概率空间 的选择有关的在刚才的例子中,我们所取的样本空间。= [0 , 1); 事件 σ 域 F 由 [0, 1) 的所有 Borel 子集组成, P 为 Lebesgue 测度.正是在这个概率空间之中,所述 的两个事件相互独立作为对比,我们再来看下面的例子 例 2.5.4 设样本空间。= [0 , 1); 事件 σ 域 F 由 [0 , 1) 的所有 Borel 子集组 成对 [0 , 1) 的任何 Borel 子集 E, 令 P(E) = 艺主, k: :f;c εE 意即事件 E 的概率等于 E 中的所有形如去的数的和不难验证, (fl,反 P) 的确 是一个概率空间现以 A, 表示事件忡,以 A2 表示事件口 , D(注意,事件 σ 域中的任何集合都是事件).试问: A, 与 A 2 是否相互独立? 解 由现在的赋概方式,有 。。 -A 噎H 喧 一一 + 咱i-an 一句,& 一一 唱i 、1l'/ 、、,,,/ i-A嘻 H 唱 吨。 -A 嘻H tA-qt" [ 一一 tA-a 哇A 、、,』J , 、飞,,,/ [ 1i-A 哇 P( Al A2 ) = P /,It飞、、 但是却有 D) =立主=;; ,, It 、 时 ) = P ([O, P( A2 ) = P 从而 P(A ,A2) i' P(A ,)P(A2) 故知式 (2.5均不成立,所以 A, 与 A 2 不相互独立 在许多具体问题中,我们可以通过问题的本身性质来判断事件的独立性,甚至 可以人为地假定独立性的存在.事实上,在许多实际问题中,独立性往往都是人为 假定的.因为在这种情况下,可以从计算的结果是否与实际相吻合来判断独立性假 定是否合理 iJlJ 2.5.5 甲、乙二人相互独立地各自抛掷一枚均匀的硬币,分别抛掷 n 次, 试求两人掷出的正面次数相等的概率. 解 在这里,假定甲、乙二人"独立地"抛掷硬币,当然是合理的. 以 E 表示二人掷出的正面次数相等的事件,再分别以 Ak 和 Bk 表示甲和乙掷 出 k 次正面的事件, k = 0 , 1 , 2 ,… , n , 易知 E= A,B, 与 A;B; 互不相交,故有 U AkBk , 并且当 4 并 j 时,事件 第 2章 .86. 初等概率论 P(E) = 艺 P(AkBk) k=O 由于两人相互独立地抛掷硬币,所以对每个 k , 事件 Ak 与 Bk 都相互独立.由于硬 币是均匀的,所以 P(Ak) =P陆) = (~)去,从而 P(E) = 主 P(A.B.) = 主 P(A.)P(B.) = 主 (ωr =C:) 主 下面的代数不等式的概率证明方法也是基于独立性的一种应用. iJIJ 2.5.6 证明 设 0404; ,证明:。运 sína+ 跚 α- SlnαC囚。运 1 该不等式垦然简单,但要证明右端的"不大于 1" 却也未必能一献而就 然而从概率角度来看,却是一目了然. 由于 0"; 叫;,所以。如坦白,∞叫 1 ,故可以把它们视为概率 设事件 A 与事件 B 相互独立,且 P(A) = sína , P(B) = c囚。,那么就有 P(A u B) = = P(A) + P(B) - s皿臼+ P(A)P(B) COS Q' - sinacos O'. 由于 0ζ P(AUB)"; 1 , 所以 0 运 sina+COBa-sinaCOBa~ 1. "相交"又称为"相容"在这个例题中,同时出现了 两个不同的概念,我们要来进一步指出 区别. 例 2.5.7 设 A 和 B 是同一概率空间(!1,ß", P) 中的两个事件,且 P(A)P(B) > 0 ,则当事件 A 与事件 B